Věty o izomorfismu
Věty o izomorfismu (Noetherové věty o izomorfismu) jsou v abstraktní algebře, oboru matematiky, matematické věty, které popisují vztah mezi faktorovými algebrami, homomorfismy a podobjekty. Věty existují ve verzích pro grupy, okruhy, vektorové prostory, moduly, Lieovy algebry a jiné algebraické struktury. V univerzální algebře lze věty o izomorfismu zobecnit na kontext algeber a kongruencí.
Historie
Věty o izomorfismu formulovala v určité obecnosti pro homomorfismy modulů Emmy Noetherová ve svém článku Abstrakter Aufbau der Idealtheorie v algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, který byl publikován v roce 1927 v Mathematische Annalen. Méně obecné verze těchto vět lze nalézt v práci Richarda Dedekinda a ve starších odborných článcích E. Noetherové.
O tři roky později publikoval B.L. van der Waerden svoji vlivnou Moderne Algebra, první učebnici abstraktní algebry, která k tématu přistupovala pomocí grup, okruhů a těles. Van der Waerden uvedl jako hlavní pramen přednášky Noetherové o teorii grup a přednášky Emila Artina o algebře, jakož i seminář o ideálech, který vedli Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier a sám van der Waerden. Explicitně se jedná o tři věty o izomorfismu nazývané věta o homomorfismu a dva zákony izomorfismu při aplikaci na grupy.
Grupy
Následuje prezentace vět o izomorfismu grup.
Věta A (grupy)
Nechť G a H jsou grupy, a nechť f : G → H je grupový homomorfismus. Pak:
- Jádro homomorfismu f je normální podgrupa grupy G,
- Obraz homomorfismu f je podgrupa grupy H, a
- Obraz homomorfismu f je izomorfní s faktorovou grupou G / ker(f).
Speciálně pokud f je surjektivní pak H je izomorfní s G / ker(f).
Tato věta se obvykle nazývá první věta o izomorfismu.
Věta B (grupy)
Nechť je grupa. Nechť je podgrupa grupy , a nechť je normální podgrupa grupy . Pak platí:
- součin je podgrupa grupy ,
- Podgrupa je normální podgrupa grupy ,
- Průnik je normální podgrupa podgrupy , a
- Faktorové grupy a jsou izomorfní.
Technicky není nezbytné, aby byla normální podgrupa, pokud je podgrupa normalizátoru podgrupy v . V tomto případě není normální podgrupou grupy , ale je stále normální podgrupou součinu .
Tato věta se někdy nazývá druhá věta o izomorfismu,[1]diamond věta[2] nebo rovnoběžník věta.[3]
Aplikace druhé věty o izomorfismu identifikuje projektivní lineární grupy: například grupa na Riemannově sféře vychází z , grupa invertovatelných matic 2 × 2 komplexních čísel vychází z , podgrupa matic s determinantem 1, a normální podgrupa skalární matice , máme , kde je jednotková matice, a . Pak druhá věta o izomorfismu říká, že:
Věta C (grupy)
Nechť je grupa, a normální podgrupa grupy . Pak
- Pokud je podgrupa grupy taková, že , pak má podgrupa izomorfní s .
- Každá podgrupa grupy má tvar pro nějakou podgrupa grupy taková, že .
- Pokud je normální podgrupa grupy taková, že , pak má normální podgrupa izomorfní s .
- Každá normální podgrupa grupy má tvar pro nějakou normální podgrupa grupy taková, že .
- Pokud je normální podgrupa grupy taková, že , pak faktorová grupa je izomorfní s .
Za třetí větu o izomorfismu je někdy označováno jen poslední tvrzení. První čtyři tvrzení se často zahrnují pod níže uvedenou větu D, a říká se jim svazová věta, věta o korespondenci nebo čtvrtá věta o izomorfismu.
Věta D (grupy)
Nechť je grupa, a normální podgrupa grupy . Kanonické projekce homomorfismu definuje bijektivní korespondence mezi množinou podgrup grupy obsahující a množinou (všech) podgrup grupy . Při této korespondenci normální podgrupy odpovídají normálním podgrupám.
Tato věta se někdy nazývá věta o korespondenci, svazová věta nebo čtvrtá věta o izomorfismu.
Čtvrtou větou o izomorfismu se někdy nazývá Zassenhausovo lemma (motýlové lemma).[4]
Diskuze
První větu o izomorfismu lze vyjádřit v jazyce teorie kategorií tak, že kategorie grup je (normální epi, mono)-faktorizovatelná; jinými slovy normální epimorfismy a monomorfismy tvoří faktorizační systém kategorie. To je zachyceno v komutativním diagramu na okraji, který ukazuje objekty a morfismy, jejichž existenci lze odvodit z morfismu . Diagram ukazuje, že každý morfismus v kategorii grup má jádro ve smyslu teorie kategorií; libovolný morfismus f se dělí na morfismy , kde ι je monomorfismus a π je epimorfismus (v konormální kategorii jsou všechny epimorfismy normální). To je znázorněno v diagramu objektem a monomorfismem (jádra jsou vždy monomorfismy), který doplňují krátkou exaktní posloupnost běžící z dolního levého rohu do horního pravého rohu diagramu. Použití konvence exaktní posloupnosti nás ušetří od nutnosti kreslit nulové morfismy z do a .
Pokud je posloupnost rozdělena zprava (tj. existuje morfismus σ, který zobrazuje na -vzor sebe sama), pak G je semidirektním součinem normální podgrupy a podgrupy . Pokud je rozdělen vlevo (tj. existuje nějaký takové, že ), pak musí také být správně rozděleno, a je přímý součin rozklad grupy G. Obecně platí, že existence pravého rozdělení neznamená existenci levého rozdělení; ale v abelovské kategorii (např. v kategorii abelovských grup) jsou levé a pravé rozdělení ekvivalentní podle lemmatu o rozdělení, a pravé rozdělení je postačující pro získání rokladu přímého součtu grupy . V abelovské kategorii jsou také všechny monomorfismy normální, a graf lze rozšířit o druhou krátkou exaktní posloupnost .
Ve druhé větě o izomorfismu je součin SN je spojením S a N ve svazové podgrupě grupy G, zatímco průnik S ∩ N je průsekem.
Lemma devíti zobecňuje třetí větu o izomorfismu na abelovské kategorie a obecnější zobrazení mezi objekty.
Poznámka k číslování a jménům vět
Následující tabulka obsahuje čtyři věty označené A, B, C a D, které jsou obvykle číslované jako „První věta o izomorfismu“, „Druhá...“ atd.; ale různí autoři je číslují různě. V tabulce jsou uvedeny příklady vět o izomorfismu grup v literatuře. Všimněte si, že k těmto větám existují obdoby pro okruhy a moduly.
Komentář | Autor | Věta A | Věta B | Věta C |
---|---|---|---|---|
Žádná „třetí“ věta | Jacobson[5] | Základní věta o homomorfismu | (Druhá věta o izomorfismu) | “často označovaná jako první věta o izomorfismu“ |
van der Waerden,[6] Durbin[8] | Základní věta of homomorfismy | První věta o izomorfismu | Druhá věta o izomorfismu | |
Knapp[9] | (Žádné jméno) | Druhá věta o izomorfismu | První věta o izomorfismu | |
Grillet[10] | věta o Homomorfismu | Druhá věta o izomorfismu | První věta o izomorfismu | |
Tři číslované věty | (Jiné konvence než u Grilleta) | První věta o izomorfismu | Třetí věta o izomorfismu | Druhá věta o izomorfismu |
Rotman[11] | První věta o izomorfismu | Druhá věta o izomorfismu | Třetí věta o izomorfismu | |
Fraleigh[12] | Základní věta o homomorfismu nebo první věta o izomorfismu | Druhá věta o izomorfismu | Třetí věta o izomorfismu | |
Dummit & Foote[13] | První věta o izomorfismu | Druhý nebo diamantová věta o izomorfismu | Třetí věta o izomorfismu | |
Žádný číslování | Milne[1] | Věta o homomorfismu | Věta o izomorfismu | Věta o korespondenci |
Scott[14] | Věta o homomorfismu | Věta o izomorfismu | Freshmanova věta |
Je méně běžný zahrnout Větu D, obvykle známou jako svazová věta nebo věta o korespondenci, jako jednu z vět o izomorfismu, pokud je však obsažena, je poslední.
Okruhy
Tvrzení vět pro okruhy jsou podobná, ale pojem normální podgrupy je nahrazen pojmem ideálu.
Věta A (okruhy)
Nechť a jsou okruhy, a nechť je okruhový homomorfismus. Pak:
- Jádro homomorfismu je ideál okruhu ,
- Obraz homomorfismu je podokruh okruhu , a
- Obraz homomorfismu je izomorfní s faktorokruhem .
Speciálně pokud je surjektivní pak je izomorfní s .[15]
Věta B (okruhy)
Nechť R je okruh. Nechť S je podokruh okruhu R, a nechť I je ideál okruhu R. Pak:
- Součet S + I = {s + i | s ∈ S, i ∈ I } je podokruh okruhu R,
- Průnik S ∩ I je ideál podokruhu S, a
- Podílové okruhy (S + I) / I a S / (S ∩ I) jsou izomorfní.
Věta C (okruhy)
Nechť R je okruh, a I ideál okruhu R. Pak
- Pokud je podokruh okruhu takový, že , pak je podokruh okruhu .
- Každý podokruh okruhu má tvar pro nějaký podokruh okruhu takový, že .
- Pokud je ideál okruhu takový, že , pak je ideál okruhu .
- Každý ideál okruhu má tvar pro nějaký ideál okruhu takový, že .
- Pokud je ideál okruhu takový, že , pak podílový okruh je izomorfní s .
Věta D (okruhy)
Nechť je ideál okruhu . Korespondence je inkluzi zachovávající bijekce mezi množinou podokruhů okruhu , které obsahují , a množinou podokruhů okruhu . Navíc (podokruh obsahující ) je ideálem okruhu právě tehdy, když je ideálem okruhu .[16]
Moduly
Tvrzení vět o izomorfismu pro moduly jsou zvláště jednoduchá, protože z libovolného podmodulu lze vytvořit podílový modul. Věty o izomorfismu vektorových prostorů (modulů nad komutativním tělesem) a Abelovy grupy (moduly nad ) jsou jeho speciálními případy. Pro konečněrozměrný vektorové prostory všechny tyto věty vycházejí z věty o dimenzích jádra a obrazu.
V následujícím textu bude „modul“ znamenat „R-modul“ pro nějaký pevný okruh R.
Věta A (moduly)
Nechť M a N jsou moduly, a nechť φ : M → N je modulový homomorfismus. Pak:
- Jádro homomorfismu φ je podmodul modulu M,
- Obraz homomorfismu φ je podmodul modulu N, a
- Obraz homomorfismu φ je izomorfní s podílovým modulem M / ker(φ).
Speciálně pokud φ je surjektivní pak N je izomorfní s M / ker(φ).
Věta B (moduly)
Nechť M je modul, a nechť S a T jsou podmoduly modulu M. Pak:
- Součet S + T = {s + t | s ∈ S, t ∈ T} je podmodul modulu M,
- Průnik S ∩ T je podmodul modulu M, a
- Podílové moduly (S + T) / T a S / (S ∩ T) jsou izomorfní.
Věta C (moduly)
Nechť M je modul, T podmodul modulu M.
- Pokud je podmodul modulu takový, že , pak je podmodul modulu .
- Každý podmodul modulu má tvar pro nějaký podmodul modulu takový, že .
- Pokud je podmodul modulu takový, že , pak podílový modul je izomorfní s .
Věta D (moduly)
Nechť je modul, podmodul modulu . Existuje bijekce mezi podmoduly modulu , který obsahuje a podmoduly modulu . Korespondence je dána vztahem pro všechny . Tato korespondence komutuje s procesy nabývání součtů a průniků (tj. je svazovým izomorfismem mezi svazem podmodulů modulu a svazem podmodulů modulu , který obsahuje ).[17]
Univerzální algebra
Pro zobecnění této věty na univerzální algebru je nutné nahradit normální podgrupy relací shodnosti.
Kongruence na algebře je relace ekvivalence , která tvoří podalgebru algebry považovanou za algebru s operacemi po složkách. Je možné vytvořit množinu tříd ekvivalence do algebry stejného typu tím, že definujeme operaci pro reprezentanty tříd; tato operace bude korektně definovaná, protože je podalgebrou algebry . Výslednou strukturu nazýváme faktoralgebra nebo podílová algebra.
Věta A (univerzální algebra)
Nechť je algebrový homomorfismu. Pak obraz homomorfismu je podalgebrou algebry , vztah daný (tj. jádrem homomorfismu ) je kongruence na , a algebry a jsou izomorfní. (Všimněte si, že v případě grup právě tehdy, když , takže se v tomto případě vracíme k pojmu jádra používanému v teorii grup.)
Věta B (univerzální algebra)
Je dána algebra , podalgebra algebry , a kongruence na , nechť je stopa relace v a kolekce tříd ekvivalence, které protínají . Pak
- je kongruence na ,
- je podalgebrou algebry , a
- algebra je izomorfní s algebrou .
Věta C (univerzální algebra)
Nechť je algebra a dvě relace shodnosti na takový, že . Pak je kongruence na , a je izomorfní s
Věta D (univerzální algebra)
Nechť je algebra a označíme množinu všech kongruencí na . Množina je úplný svaz uspořádaný inkluzí.[18] Pokud je kongruence, a budeme značit množinu všech kongruencí, které obsahují (tj. je hlavní filtr v , který je navíc podsvazem), pak zobrazení je svazový izomorfismus.[19][20]
Odkazy
Poznámky
- ↑ a b Milne (2013), Chap. 1, sec. Theorems concerning homomorphisms
- ↑ I. Martin Isaacs, 1994. Algebra: A Graduate Course. [s.l.]: American Mathematical Soc.. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-4799-2. S. 33.
- ↑ Paul Moritz Cohn, 2000. Classic Algebra. [s.l.]: Wiley. Dostupné online. ISBN 978-0-471-87731-8. S. 245.
- ↑ WILSON, Robert A., 2009. The Finite Simple Groups. [s.l.]: Springer-Verlag London. (Graduate Texts in Mathematics 251). ISBN 978-1-4471-2527-3. DOI 10.1007/978-1-84800-988-2.
- ↑ Jacobson (2009), sec 1.10
- ↑ van der Waerden, Algebra (1994).
- ↑ Durbin (2009), sec. 54
- ↑ [the names are] essentially the same as [van der Waerden 1994][7]
- ↑ Knapp (2016), sec IV 2
- ↑ Grillet (2007), sec. I 5
- ↑ Rotman (2003), sec. 2.6
- ↑ Fraleigh (2003), Chap. 14, 34
- ↑ DUMMIT, David Steven, 2004. Abstract algebra. 3. vyd. Hoboken, NJ: [s.n.]. Dostupné online. ISBN 0-471-43334-9. OCLC 52559229 S. 97–98.
- ↑ Scott (1964), secs 2.2 and 2.3
- ↑ MOY, Samuel, 2022. An Introduction to the Theory of Field Extensions [online]. UChicago Department of Math, 2022 [cit. 2022-12-20]. Dostupné online.
- ↑ DUMMIT, David S.; FOOTE, Richard M., 2004. Abstract algebra. Hoboken, NJ: Wiley. Dostupné online. ISBN 978-0-471-43334-7. S. 246.
- ↑ Dummit and Foote (2004), p. 349
- ↑ Burris and Sankappanavar (2012), p. 37
- ↑ Burris and Sankappanavar (2012), p. 49
- ↑ SUN, William. Is there a general form of the correspondence theorem? [online]. Mathematics StackExchange [cit. 2019-07-20]. Dostupné online.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Isomorphism theorems na anglické Wikipedii.
- Noether, Emmy, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie v algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) pp. 26–61
- McLarty, Colin, „Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors“. The architecture of Modern Mathematics: Essays v history and philosophy (editoři Jeremy Gray a José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.
- JACOBSON, Nathan, 2009. Basic algebra. 2. vyd. [s.l.]: Dover. ISBN 9780486471891.
- Cohn, Paul M., Univeral algebra, Chapter II.3 p. 57
- MILNE, James S., 2013. Group Theory. [s.l.]: [s.n.]. Dostupné online.
- VAN DER WAERDEN, B. I., 1994. Algebra. 9. vyd. [s.l.]: Springer-Verlag.
- DUMMIT, David S.; FOOTE, Richard M., 2004. Abstract algebra. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
- BURRIS, Stanley; SANKAPPANAVAR, H. P., 2012. A Course in Universal Algebra. [s.l.]: [s.n.]. Dostupné online. ISBN 978-0-9880552-0-9.
- Scott, W. R., 1964. Group Theory. [s.l.]: Prentice Hall.
- Durbin, John R., 2009. Modern Algebra: An Introduction. 6. vyd. [s.l.]: Wiley. ISBN 978-0-470-38443-5.
- Knapp, Anthony W., 2016. Basic Algebra. Digital 2. vyd. [s.l.]: [s.n.].
- Grillet, Pierre Antoine, 2007. Abstract Algebra. 2. vyd. [s.l.]: Springer.
- Rotman, Joseph J., 2003. Advanced Modern Algebra. 2. vyd. [s.l.]: Prentice Hall. ISBN 0130878685.
- Hungerford, Thomas W., 1980. Algebra (Graduate Texts in Mathematics, 73). [s.l.]: Springer. ISBN 0387905189.