Nechť je lineární zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory, kde prostor má konečnou dimenzi. Pak platí:
,
kde značí jádro zobrazení a symbol značí podprostor prostoru shodný s oborem hodnot zobrazení .
Pro matice
Lineární zobrazení mezi prostory konečné dimenze lze reprezentovat maticemi. Matice typu nad tělesem odpovídá lineárnímu zobrazení danému předpisem . Obráceně, ke každému lineárnímu zobrazení lze nalézt matici , aby platilo totéž.
Dimenze definičního oboru zobrazení je , což je počet sloupců matice a věta o hodnosti a nulitě pro matici odpovídá vzathu:
.
Verze pro lineární zobrazení je obecnější ve dvou ohledech:
prostory a nemusí být aritmetické , resp. , a dokonce ani dimenze cílového prostoru nemusí být konečná.
Navzdory tomu z maticové verze vyplývá i obecnější verze pro zobrazení, protože obor hodnot je ve podprostorem konečné dimenze. Pro i lze volbou libovolných bází získat podprostory izomorfní a , a pak zobrazení reprezentovat maticí . Volba báze prostoru udává i izomorfismus mezi jádry a , a proto obě jádra mají stejnou dimezi. Vztah vyslovený pro matice se pak přenese i na lineární zobrazení.
Ukázka
Kolmá projekce třírozměrného eukleidovského prostoru do roviny dané prvními dvěma osami je lineární zobrazení z prostoru dimenze 3, jehož obor hodnot je dvoudimezionální rovina. Jádrem zobrazení je přímka shodná se třetí osou, čili podprostor dimenze 1.
Vztah uvedený ve větě odpovídá rovnosti:
.
Zmíněnému zobrazení odpovídá matice
Jádro matice tvoří všechny skalární násobky vektoru , což je podprostor prostoru dimenze 1.
Maticová verze věty odpovídá rovnosti:
,
přičemž na pravé straně vychází počet sloupců matice .
Platnost věty pak vyplývá z jednoduchého argumentu, že celkový počet bázických a volných proměnných je roven počtu sloupců dané matice.
Konstrukce bází
Nechť jsou vektorové prostory nad nějakým tělesem , kde , a nechť je lineární zobrazení z do .
Protože je podprostorem prostoru , má nějakou bázi
,
kde .
Pomocí Steinitzovy věty o výměně lze rozšířit množinu vektorů o celkem lineárně nezávislých vektorů na bázi prostoru .
Zbývá ověřit, že množina je jednou z možných bází prostoru .
Pro libovolný vektor existuje alespoň jeden vektor takový, že . Vektor lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze s koeficienty :
Protože je lineární zobrazení, lze libovolně zvolený vektor vyjádřit výrazem:
,
a tak vektory generují prostor .
Při eliminaci první ze sum byl využit předpoklad, že vektory tvoří bázi jádra :
V hypotetické situaci, kdyby vektory netvořily bázi a byly tudíž lineárně závislé, bylo by možné najít koeficienty netriviální lineární kombinace takové, že:
Potom by vektor , daný výrazem , byl netriviálním prvkem jádra, protože:
Ovšem bybylo možné vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze jádra . V důsledku by vektory netvořily bázi prostoru , protože by byly lineárně závislé, jak dokládá lineární kombinace:
Proto zkoumaný předpoklad, že by vektory byly lineárně závislé, je sporný a ony jsou ve skutečnosti lineárně nezávislé a tudíž tvoří bázi prostoru .
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.