Věta o homomorfismu

Věta o homomorfismu, někdy také nazývaná první věta o izomorfismu, je v teorii grup a v abstraktní algebře věta, která ukazuje souvislost struktury dvou objektů, mezi kterými existuje homomorfismus, a jádrem a obrazem homomorfismu.

Věta o homomorfismu se používá pro matematický důkaz vět o izomorfismu.

Verze pro grupy

Znázornění věty o homomorfismu, kde f je homomorfismus, N je normální podgrupa grupy G a e je neutrální prvek grupy G.

Jsou dány dvě grupy G a H a grupový homomorfismus f : GH. Nechť N je normální podgrupa v G a φ přirozený surjektivní homomorfismus GG / N (kde G / N je faktorová grupa grupy G podle N). Pokud N je podmnožina jádra ker(f), pak existuje jediný homomorfismus h : G / NH takový, že f = hφ.[1]

Jinými slovy přirozená projekce φ je univerzální mezi homomorfismy na G, které zobrazují N na neutrální prvek.

Situace je popsaná následujícím komutativním diagramem:

h je injektivní právě tehdy, když N = ker(f). Pokud tedy položíme N = ker(f), okamžitě dostáváme první větu o izomorfismu.

Větu o homomorfismu grup lze stručně formulovat takto: „Každý homomorfní obraz grupy je izomorfní s faktorovou grupou“.

Důkaz

Důkaz vyplývá ze dvou základních faktů o homomorfismech, jmenovitě o zachování grupové operace, a zobrazení neutrálního prvku na neutrální prvek. Potřebujeme ukázat, že pokud je homomorfismus grup, pak:

  1. je podgrupa grupy .
  2. je izomorfní s .

Důkaz bodu 1

Operace, kterou zachovává, je grupová operace. Pokud , pak existují prvky takové, že a . Pro tyto a , máme (protože zachovává grupové operace), a tedy, uzávěrová vlastnost je splněna v . Neutrální prvek je také v , protože převádí neutrální prvek grupy to to. Protože ke každému prvku v má inverzní takový, že (protože zachovává inverzní vlastnost také), máme inverzní pro každý prvek v , proto, je podgrupa grupy .

Důkaz bodu 2

Zkonstruujeme zobrazení by . Toto zobrazení je definované korektně, protože pokud , pak a tedy což dává . Toto zobrazení je izomorfismus. Z definice je vidět, že je surjektivní na . Pro důkaz injektivity je třeba si uvědomit, že pokud , pak , což implikuje takže . Nakonec

tedy zachovává grupové operace. Tedy je izomorfismus mezi a , což uzavírá důkaz.

Aplikace

Grupově-teoretickou verzi věty o homomorfismu lze použít pro důkaz, že určité dvě grupy jsou izomorfní. Dva příklady jsou uvedené níže.

Celá čísla modulo n

Pro každý , uvažujme grupy a a grupový homomorfismus definovaný vztahem (viz Modulární aritmetika). Dále uvažujme jádro homomorfismu , , které je normální podgrupou v . Existuje přirozený surjektivní homomorfismus definovaný vztahem . Věta tvrdí, že existuje izomorfismus mezi a nebo jinými slovy . Situace je znázorněna následujícím komutativním diagramem:

N/C věta

Nechť je grupa s podgrupou . Nechť , a je po řadě centralizátor, normalizátor a grupa automorfismů grupy v . Potom věta N/C říká, že je izomorfní s podgrupou .

Důkaz

Jsme schopni najít grupový homomorfismus definovaný vztahem , pro všechna . Jádro homomorfismu je zřejmě . Máme tedy přirozený surjektivní homomorfismus definovaný vztahem . Věta o homomorfismu pak tvrdí, že existuje izomorfismus mezi a , který je podgrupou grupy .

Jiné verze

Podobné věty platí pro monoidy, vektorové prostory, moduly a okruhy.[2]

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fundamental theorem on homomorphisms na anglické Wikipedii.

  1. Mac Lane a Birkhoff 1973, strana 136, Veta 26.
  2. MFF, s. 3.

Literatura

  • BEACHY, John A., 1999. Introductory Lectures on Rings and Modules. [s.l.]: Cambridge University Press. (London Mathematical Society Student Texts). Dostupné online. ISBN 9780521644075. S. 27. 
  • GROVE, Larry C., 2012. Algebra. [s.l.]: Courier Corporation. (Dover Books on Mathematics). Dostupné online. ISBN 9780486142135. S. 11. 
  • JACOBSON, Nathan, 2012. Basic Algebra II. 2. vyd. [s.l.]: Courier Corporation. (Dover Books on Mathematics). Dostupné online. ISBN 9780486135212. S. 62. 
  • ROSE, John S., 1994. A course on Group Theory [reprint of the 1978 original]. [s.l.]: Dover Publications, Inc., New York. Dostupné online. ISBN 0-486-68194-7. S. 44–45. 
  • MAC LANE, Saunders; BIRKHOFF, Garrett, 1973. Algebra. Bratislava: Alfa, vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry. (slovensky) 
  • Studijní text katedry algebry MFF UK [online]. [cit. 2024-09-19]. Dostupné online. 

Související články

  • Faktorová kategorie

Zdroj