Věta o homomorfismu
Věta o homomorfismu, někdy také nazývaná první věta o izomorfismu, je v teorii grup a v abstraktní algebře věta, která ukazuje souvislost struktury dvou objektů, mezi kterými existuje homomorfismus, a jádrem a obrazem homomorfismu.
Věta o homomorfismu se používá pro matematický důkaz vět o izomorfismu.
Verze pro grupy
Jsou dány dvě grupy G a H a grupový homomorfismus f : G → H. Nechť N je normální podgrupa v G a φ přirozený surjektivní homomorfismus G → G / N (kde G / N je faktorová grupa grupy G podle N). Pokud N je podmnožina jádra ker(f), pak existuje jediný homomorfismus h : G / N → H takový, že f = h ∘ φ.[1]
Jinými slovy přirozená projekce φ je univerzální mezi homomorfismy na G, které zobrazují N na neutrální prvek.
Situace je popsaná následujícím komutativním diagramem:
h je injektivní právě tehdy, když N = ker(f). Pokud tedy položíme N = ker(f), okamžitě dostáváme první větu o izomorfismu.
Větu o homomorfismu grup lze stručně formulovat takto: „Každý homomorfní obraz grupy je izomorfní s faktorovou grupou“.
Důkaz
Důkaz vyplývá ze dvou základních faktů o homomorfismech, jmenovitě o zachování grupové operace, a zobrazení neutrálního prvku na neutrální prvek. Potřebujeme ukázat, že pokud je homomorfismus grup, pak:
- je podgrupa grupy .
- je izomorfní s .
Důkaz bodu 1
Operace, kterou zachovává, je grupová operace. Pokud , pak existují prvky takové, že a . Pro tyto a , máme (protože zachovává grupové operace), a tedy, uzávěrová vlastnost je splněna v . Neutrální prvek je také v , protože převádí neutrální prvek grupy to to. Protože ke každému prvku v má inverzní takový, že (protože zachovává inverzní vlastnost také), máme inverzní pro každý prvek v , proto, je podgrupa grupy .
Důkaz bodu 2
Zkonstruujeme zobrazení by . Toto zobrazení je definované korektně, protože pokud , pak a tedy což dává . Toto zobrazení je izomorfismus. Z definice je vidět, že je surjektivní na . Pro důkaz injektivity je třeba si uvědomit, že pokud , pak , což implikuje takže . Nakonec
tedy zachovává grupové operace. Tedy je izomorfismus mezi a , což uzavírá důkaz.
Aplikace
Grupově-teoretickou verzi věty o homomorfismu lze použít pro důkaz, že určité dvě grupy jsou izomorfní. Dva příklady jsou uvedené níže.
Celá čísla modulo n
Pro každý , uvažujme grupy a a grupový homomorfismus definovaný vztahem (viz Modulární aritmetika). Dále uvažujme jádro homomorfismu , , které je normální podgrupou v . Existuje přirozený surjektivní homomorfismus definovaný vztahem . Věta tvrdí, že existuje izomorfismus mezi a nebo jinými slovy . Situace je znázorněna následujícím komutativním diagramem:
N/C věta
Nechť je grupa s podgrupou . Nechť , a je po řadě centralizátor, normalizátor a grupa automorfismů grupy v . Potom věta N/C říká, že je izomorfní s podgrupou .
Důkaz
Jsme schopni najít grupový homomorfismus definovaný vztahem , pro všechna . Jádro homomorfismu je zřejmě . Máme tedy přirozený surjektivní homomorfismus definovaný vztahem . Věta o homomorfismu pak tvrdí, že existuje izomorfismus mezi a , který je podgrupou grupy .
Jiné verze
Podobné věty platí pro monoidy, vektorové prostory, moduly a okruhy.[2]
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fundamental theorem on homomorphisms na anglické Wikipedii.
- ↑ Mac Lane a Birkhoff 1973, strana 136, Veta 26.
- ↑ MFF, s. 3.
Literatura
- BEACHY, John A., 1999. Introductory Lectures on Rings and Modules. [s.l.]: Cambridge University Press. (London Mathematical Society Student Texts). Dostupné online. ISBN 9780521644075. S. 27.
- GROVE, Larry C., 2012. Algebra. [s.l.]: Courier Corporation. (Dover Books on Mathematics). Dostupné online. ISBN 9780486142135. S. 11.
- JACOBSON, Nathan, 2012. Basic Algebra II. 2. vyd. [s.l.]: Courier Corporation. (Dover Books on Mathematics). Dostupné online. ISBN 9780486135212. S. 62.
- ROSE, John S., 1994. A course on Group Theory [reprint of the 1978 original]. [s.l.]: Dover Publications, Inc., New York. Dostupné online. ISBN 0-486-68194-7. S. 44–45.
- MAC LANE, Saunders; BIRKHOFF, Garrett, 1973. Algebra. Bratislava: Alfa, vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry. (slovensky)
- Studijní text katedry algebry MFF UK [online]. [cit. 2024-09-19]. Dostupné online.
Související články
- Faktorová kategorie