Korektně definovaný
Korektně definovaný výraz je v matematice takový výraz, jemuž definice přiřazuje jedinečnou interpretaci nebo hodnotu. V opačném případě se říká, že výraz není korektně definovaný, je špatně definovaný nebo nejednoznačný.[1] Funkce je korektně definovaná, pokud dává stejný výsledek, když se změní reprezentace vstupu bez změny hodnoty vstupu. Pokud například parametrem funkce je reálné číslo, a, pokud není rovno pak není korektně definované (a proto to není funkce).[2] Termín korektně definovaný může být také používán jako vyjádření, že logický výraz je jednoznačný a není kontradikcí.
Funkce, která není korektně definovaná, není totéž jako funkce, které je nedefinovaná. Pokud například , pak přestože není definováno, neznamená to, že funkce není definovaná korektně; pouze to znamená, že 0 není v definičním oboru funkce .
Příklad
Nechť jsou množiny a . „Definujme“ jako pokud a pokud .
Funkce je korektně definovaná, pokud . Pokud například a , pak je definována korektně a rovna .
Pokud by však , pak by nebyla korektně definovaná, protože pro je „nejednoznačné“. Pokud například a , pak by muselo být 0 i 1, což ji činí nejednoznačnou. V důsledku toho funkce není korektně definovaná a tedy to není funkce.
“Definice“ jako anticipation definice
Pro/Aby zabraňovat uvozovky okolo „definuje“ v předchozí jednoduchý příklad, je možné „definici“ rozdělit na dva logické kroky:
-
Definice binární relace. Např.
-
Tvrzení. Binární relace je funkce; v uvedeném příkladě
Zatímco definice v kroku 1 je formulována s volnosti libovolné definice a je určitě efektivní (bez potřeby ji klasifikovat jako „korektně definovanou“), tvrzení v kroku 2 má být dokázané. Tj. je funkce právě tehdy, když , a v tomto případě je korektně definovaná jako funkce.
Pokud by naopak množiny a nebyly disjunktní: , pak pro , bychom dostali, že a zároveň , takže binární relace není funkcí (protože definovaný v Binární relace) a tedy ne korektně definovaný jako funkce. Hovorově se „funkce“ také nazývá nejednoznačnou v bodě (i když existuje na definitionem nikdy „nejednoznačný funkce“), a původní „definice“ je nesmyslná.
Bez ohledu na tyto nepatrné logické problémy, je zcela běžné používat pro „definice“ tohoto druhu termín definice (bez apostrofů), ze tří důvodů:
- Poskytuje praktickou zkratku dvoustupňového přístupu.
- Matematické vyvozování (tj. krok 2) je v obou případech stejné.
- V matematických textech je tvrzení „na 100%“ pravdivé.
Nezávislost na výběru reprezentanta
Pochybnosti o korektnosti definice funkce se často objevují, když se definice neodkazuje na samotné argumenty, ale na jejich prvky, které slouží jako reprezentanti. To bývá nevyhnutelné, když argumenty jsou třídy rozkladu, a když jsou v definici použiti reprezentanti tříd. Hodnota funkce nesmí záviset na výběru reprezentanta.
Funkce s jedním argumentem
Uvažujme například funkci:
kde a jsou celá čísla modulo m a označuje shodnost tříd n mod m.
Poznámka: je odkaz na prvek , a je argument funkce .
Funkce je korektně definovaná, protože:
Protipříkladem je opačná definice:
která nevede k korektně definované funkci, protože například se v rovná , ale by funkce zobrazila na , zatímco by bylo zobrazeno na , ale a nejsou v stejné.
Operace
To, že je definice korektní se často prověřuje pro (binární) operace nad třídami ekvivalence. V tomto případě lze na operaci pohlížet jako na funkci dvou proměnných, a vlastnost být korektně definovaná je stejná jako v případě funkce. Například sčítání na množině celých čísel modulo nějaké n lze přirozeně definovat pomocí běžného sčítání celých čísel:
Skutečnost, že tato operace je korektně definovaná, vyplývá z toho, že libovolného reprezentanta můžeme zapsat jako , kde je celé číslo. Proto
Totéž platí pro libovolného reprezentanta , díky čemuž je stejné, bez ohledu na výběr reprezentanta.
Korektně definovaný zápis
Pro reálná čísla je součin jednoznačný, protože ; tedy řekneme, že zápis je korektně definovaný.[1] Tuto vlastnost, známou jako asociativita násobení, zaručuje výsledek nezávisí na pořadí násobení; proto, specifikace posloupnosti lze vynechat. Odčítání operace je neasociativní; bez ohledu na that, existuje konvence, že je zkratka za , tedy je považovány za „korektně definovaný“. Na druhou stranu, dělení je neasociativní, a v případě výrazu , nejsou konvence závorkování korektně určeny; proto je tento výraz často považován za chybně definovaný.
Na rozdíl funkcí lze nejednoznačnosti zápisu často překonat doplňující definicí (např. pravidly priority nebo stanovením asociativity operátoru). Například v programovacím jazyce C, operátor -
pro odčítání je asociativní zleva doprava, což znamená, že a-b-c
je definovaný jako (a-b)-c
, a operátor =
pro přiřazení je asociativní zprava doleva, což znamená, že a=b=c
je definovaný jako a=(b=c)
.[3] V programovacím jazyce APL existuje pouze jedno pravidlo: z zprava doleva – ale závorky poprvé.
Jiná použití
Českému korektně definovaný odpovídá v angličtině obrat well-defined, který má v angličtině i další význam: O řešení parciální diferenciální rovnice řekneme, že je dobře definované, pokud je spojitě určeno okrajovými podmínkami.[1]
Odkazy
Poznámky
- ↑ a b c WEISSTEIN, Eric W. Well-Defined [online]. From MathWorld – A Wolfram Web Resource [cit. 2013-01-02]. Dostupné online.
- ↑ Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction, p. 287 "... a funkce musí mít "jedinou-hodnotu," nebo, jak častěji říkáme, ... funkce je korektně definovaná.", Allyn and Bacon, 1965.
- ↑ Operator Precedence and Associativity in C [online]. GeeksforGeeks, 2014-02-07 [cit. 2019-10-18]. Dostupné online. (anglicky)
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Well-defined expression na anglické Wikipedii.
Literatura
- GALLIAN, Joseph A., 2006. Contemporary Abstract Algebra. 6. vyd. [s.l.]: Houghlin Mifflin. ISBN 0-618-51471-6..
- ALUFFI, Paolo. Algebra: Chapter 0. [s.l.]: [s.n.] ISBN 978-0821847817.
- DUMMIT; FOOTE. Abstract Algebra. 3. vyd. [s.l.]: [s.n.] ISBN 978-0471433347.
Související články
- Relace ekvivalence
- Definitionism
- Existence
- Patologický (matematika)
- Jednoznačnost
- Kvantifikátor jednoznačné existence
- Nedefinovaný
- Dobře utvořený vzorec