Systém množin

Systém množin je v teorii množin taková množina, jejíž všechny prvky jsou množiny^[1].

Je-li X množina, pak systém množin na X je libovolná množina podmnožin množiny X. Speciálně množina všech podmnožin množiny X tj. její potenční množina P(X), je systémem množin na množině X.

Systém množin S se nazývá systém po dvou disjunktních množin, jestliže pro každé dva jeho prvky ${\displaystyle A,B\in S}$ platí ${\displaystyle A\neq B\implies A\cap B=\emptyset }$.

Systém množin S se nazývá σ-systém (sigma-systém), právě když pro každý neprázdný spočetný podsystém platí, že jeho sjednocení je prvkem S.

Systém množin S se nazývá δ-systém (delta-systém), právě když pro každý neprázdný spočetný podsystém platí, že jeho průnik je prvkem S.

Systém množin S se nazývá okruh množin, právě když je neprázdný a pro každé dva jeho prvky ${\displaystyle A,B\in S}$ platí ${\displaystyle (A\cup B)\in S}$ a zároveň ${\displaystyle (A\Delta B)\in S}$, kde ${\displaystyle \Delta }$ je symetrická diference.

Systém množin S se nazývá σ-okruh (sigma-okruh), právě když S je okruhem a zároveň je σ-systémem.

Systém množin S se nazývá δ-okruh (delta-okruh), právě když S je okruhem a zároveň je δ-systémem.

Systém množin S se nazývá algebra množin, právě když S je okruhem a zároveň existuje taková množina ${\displaystyle A\in S}$, že pro všechny prvky ${\displaystyle P\in S}$ je ${\displaystyle P\subseteq A}$.

Systém množin S se nazývá σ-algebra množin neboli σ-těleso, právě když S je algebrou množin a zároveň je σ-systémem.

Systém množin S se nazývá δ-algebra množin neboli δ-těleso, právě když S je algebrou množin a zároveň je δ-systémem.

Odkazy

Reference

Související články

• Sigma okruh
• Sigma algebra

Zdroj