Sigma okruh

${\displaystyle \sigma }$-okruh (sigma-okruh) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků. Prefix ${\displaystyle \sigma }$ v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Formální definice

Systém množin ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ je ${\displaystyle \sigma }$-okruh, pokud splňuje následující vlastnosti:

1. ${\displaystyle {\mathcal {R}}\neq \emptyset }$
2. jestliže ${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {R}})}$, pak ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$
3. jestliže ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$, pak ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$

Někdy se jako ${\displaystyle \sigma }$-okruh označuje uspořádaná dvojice ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {R}})}$, kde ${\displaystyle \Omega }$ je libovolná množina a ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$ je nějaký systém jejích podmnožin, který splňuje výše uvedené vlastnosti.

Další vlastnosti

• Každý ${\displaystyle \sigma }$-okruh obsahuje prázdnou množinu
• ${\displaystyle \sigma }$-okruh je uzavřený na spočetný průnik svých prvků: jestliže ${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {R}})}$, pak ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$

Použití

Koncept ${\displaystyle \sigma }$-okruhu je důležitý především v teorii míry, kde se používá místo ${\displaystyle \sigma }$-algebry, pokud není potřeba, aby univerzální množina byla měřitelná.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Sigma-okruh na slovenské Wikipedii.

Související články

• ${\displaystyle \sigma }$-algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je ${\displaystyle \sigma }$-okruh, který obsahuje sjednocení všech svých prvků (tj. ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}}$).
• Systém množin
• Potenční množina

Zdroj