Slabá kardinální mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.
Definice
Jsou-li a dvě kardinální čísla, pak jejich slabou kardinální mocninu označujeme symbolem a definujeme vztahem
, tj. jako součet všech kardinálních mocnin s exponentem menším než .
Motivace pro zavedení
Při řešení otázek týkajících se mohutnosti množin se zavádějí dvě speciální podmnožiny potenční množiny:
Řečeno lidsky: množina všech podmnožin množiny s mohutností přesně a množina všech podmnožin množiny s mohutností menší než
Otázku, jakou má taková množina mohutnost, zodpovídá ve druhém případě právě slabá kardinální mocnina:
Pokud platí a (symbol je nejmenší kardinální číslo větší než ), potom
Příklad použití
V článku Kardinální aritmetika je vidět, jak málo toho lze zjistit o chování kardinální mocniny, pokud k axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nepřidáme zobecněnou hypotézu kontinua nebo nějaké jí podobné tvrzení.
Alespoň částečnou představu o průběhu kardinálních mocnin dvojky dává pro regulární kardinály funkce gimel, pro singulární kardinály pak funkce gimel v kombinaci se slabou kardinální mocninou:
Je-li singulární kardinál, takové, že pro každé platí , potom
Je-li singulární kardinál a pro každé existuje , pro které platí , potom
Související články
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-02-02 16:32:06
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Slabá kardinální mocnina)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.