Plocha

Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického tělesa.

Plochy v euklidovském prostoru

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici

${\displaystyle F(x,y,z)=0}$,

kde ${\displaystyle F}$ je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce ${\displaystyle F}$ má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

Implicitní rovnice plochy

Implicitní rovnice plochy má tvar

${\displaystyle F(x,y,z)=0}$

Parametrické rovnice

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

${\displaystyle x=x(u,v)}$

${\displaystyle y=y(u,v)}$

${\displaystyle z=z(u,v)}$

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž ${\displaystyle u,v}$ jsou parametry plochy. Každou dvojici ${\displaystyle u,v}$ z určitého oboru ${\displaystyle \Omega }$ nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na ${\displaystyle \Omega }$ spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle ${\displaystyle u}$ a ${\displaystyle v}$.

Explicitní rovnice plochy

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

${\displaystyle z=f(x,y)}$,

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

Základní rovnice plochy

Vztahy mezi normálou plochy ${\displaystyle \mathbf {n} }$, rádiusvektorem ${\displaystyle \mathbf {r} }$ a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)}$ uvést v různých tvarech.

Weingartenovy rovnice plochy

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů ${\displaystyle \mathbf {n} }$ a ${\displaystyle \mathbf {r} }$.

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}={\frac {MF-NE}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}+{\frac {ME-LF}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}={\frac {MG-NF}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}+{\frac {MF-LG}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}}$

kde ${\displaystyle E,F,G}$ jsou základní veličiny plochy prvního řádu a ${\displaystyle L,M,N}$ jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Gaussovy rovnice plochy

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru ${\displaystyle \mathbf {r} }$.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial u^{2}}}={\frac {G{\frac {\partial E}{\partial u}}-2F{\frac {\partial F}{\partial u}}+F{\frac {\partial E}{\partial v}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {-F{\frac {\partial E}{\partial u}}+2E{\frac {\partial F}{\partial u}}-E{\frac {\partial E}{\partial v}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}+L\mathbf {n} }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial u\partial v}}={\frac {G{\frac {\partial E}{\partial v}}-F{\frac {\partial G}{\partial u}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {E{\frac {\partial G}{\partial u}}-F{\frac {\partial E}{\partial v}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}+M\mathbf {n} }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial v^{2}}}={\frac {-F{\frac {\partial G}{\partial v}}+2G{\frac {\partial F}{\partial v}}-G{\frac {\partial G}{\partial u}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {E{\frac {\partial G}{\partial v}}-2F{\frac {\partial F}{\partial v}}+F{\frac {\partial G}{\partial u}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}+N\mathbf {n} }$

kde ${\displaystyle E,F,G}$ jsou základní veličiny plochy prvního řádu a ${\displaystyle L,M,N}$ jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Codazziho rovnice plochy

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu ${\displaystyle E,F,G}$ a základními veličinami plochy druhého řádu ${\displaystyle L,M,N}$.

${\displaystyle (EG-2F^{2}+GE)\left({\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial M}{\partial u}}\right)-(EN-2FM+GL)\left({\frac {\partial E}{\partial v}}-{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)+{\begin{vmatrix}E&{\frac {\partial E}{\partial u}}&L\\F&{\frac {\partial F}{\partial u}}&M\\G&{\frac {\partial G}{\partial u}}&N\end{vmatrix}}=0}$

${\displaystyle (EG-2F^{2}+GE)\left({\frac {\partial M}{\partial v}}-{\frac {\partial N}{\partial u}}\right)-(EN-2FM+GL)\left({\frac {\partial F}{\partial v}}-{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)+{\begin{vmatrix}E&{\frac {\partial E}{\partial v}}&L\\F&{\frac {\partial F}{\partial v}}&M\\G&{\frac {\partial G}{\partial v}}&N\end{vmatrix}}=0}$

Vlastnosti

• Zavedeme matici

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial u}}\\{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}\end{pmatrix}}}$

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost ${\displaystyle h=2}$ jsou regulárními body. Je-li hodnost matice ${\displaystyle h<2}$, pak jde o singulární body.

• Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v ${\displaystyle \Omega }$ nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost ${\displaystyle h=2}$, pak plochu označujeme jako hladkou.

Související články

• Prostorové geometrické útvary
• Přímková plocha
• Kvadratická plocha
• Kuželová plocha
• Válcová plocha
• Obsah

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu plocha na Wikimedia Commons
• Téma Plocha ve Wikicitátech
• Slovníkové heslo plocha ve Wikislovníku
• Encyklopedické heslo Plocha v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích

Zdroj