Normála

Normála daného n−1 dimenzionálního podprostoru v n-dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor. V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku, v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu.

Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n−1 rozměrných útvarů – tzv. nadploch. Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy.

Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor, např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu.

Normála plochy

Je-li rovina dána rovnicí ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$, potom je její normálový vektor n roven ${\displaystyle (a,b,c)}$.

Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi

${\displaystyle x=x(r,s),\,}$

${\displaystyle y=y(r,s),\,}$

${\displaystyle z=z(r,s),\,}$

potom je vektor normály až na znaménko udán jako

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial r}},&{\frac {\partial y}{\partial r}},&{\frac {\partial z}{\partial r}}\\{\frac {\partial x}{\partial s}},&{\frac {\partial y}{\partial s}},&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\\mathbf {e} _{1},&\mathbf {e} _{2},&\mathbf {e} _{3}\end{matrix}}\right|,}$

což má přímé zobecnění v n-rozměrném prostoru:

${\displaystyle \mathbf {n} =\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}},&\dots ,&{\frac {\partial x_{n}}{\partial p_{1}}}\\\dots ,&\dots ,&\dots \\{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{n-1}}},&\dots ,&{\frac {\partial x_{n}}{\partial p_{n-1}}}\\\mathbf {e} _{1},&\dots ,&\mathbf {e} _{n}\end{matrix}}\right|,}$

kde ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n-1}}$ jsou parametry plochy.

Je-li plocha dána jako množina bodů ${\displaystyle (x,y,z)}$ splňujících rovnici :${\displaystyle F(x,y,z)=0}$, potom určíme vektor normály až na znaménko jako gradient F:

${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)}$.

Normála křivky

Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (s)}$, kde ${\displaystyle s}$ je oblouk křivky, a jsou kolmé na tečný vektor ${\displaystyle \mathbf {t} }$ v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.

Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {t} }{\mathrm {d} s}}}$.

Jednotkový vektor ${\displaystyle \mathbf {n} }$, který má stejný směr jako vektor ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {t} }{\mathrm {d} s}}}$, se nazývá jednotkový vektor hlavní (první) normály. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {t} }{\mathrm {d} s^{2}}}\neq 0}$.

Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {1}{k_{1}}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {t} }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{k_{1}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} s^{2}}}}$,

kde ${\displaystyle k_{1}}$ je tzv. první křivost.

Vektory ${\displaystyle \mathbf {t} }$ a ${\displaystyle \mathbf {n} }$ jsou vzájemně kolmé, tzn. ${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {n} =0}$.

Pokud parametrem křivky není její oblouk ${\displaystyle s}$, ale obecný parametr ${\displaystyle t}$, tzn. křivka je dána rovnicí ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$, pak je jednotkový normálový vektor ${\displaystyle \mathbf {n} }$ dán vztahem

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}\right)\cdot \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}\right)}}}}$,

kde ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}}}={\frac {1}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}}$ pokud platí ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\neq 0}$ a ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}\neq 0}$.

Související články

• Průvodní trojhran
• Frenetovy vzorce
• Binormála
• Tečna

Zdroj