Kužel

Kužel je trojrozměrný geometrický tvar, který vznikne jako průnik kuželového prostoru a rovinné vrstvy.

Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele, se označuje jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava kužele. Plášť kužele a podstava tvoří povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmá vzdálenost mezi podstavou a vrcholem se nazývá výška kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště je strana kužele.

Je-li podstavou kužele kruh, pak se kužel nazývá kruhový. Jestliže kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy (kruh) kužele, jedná se o rotační kužel nebo také kolmý kruhový kužel. Kužel, který není rotační, se nazývá kosý kužel.

Základní pojmy

Kuželový prostor a kuželová plocha

Definice: Je dána jednoduchá uzavřená křivka ${\displaystyle k}$, která leží v rovině ${\displaystyle \rho }$ a bod V, který v dané rovině ${\displaystyle \rho }$ neleží. Množina všech přímek, které procházejí daným bodem V a které protínají rovinu ${\displaystyle \rho }$ v bodech křivky ${\displaystyle k}$ vytvářejí kuželový prostor.

Přímky kuželového prostoru, které protínají křivku ${\displaystyle k}$, tvoří kuželovou plochu.

Křivka ${\displaystyle k}$ se nazývá řídící křivkou kuželového prostoru nebo kuželové plochy. Bod V je vrchol kuželového prostoru nebo kuželové plochy.

Přímky kuželového prostoru, které nejsou přímkami kuželové plochy se nazývají vnitřní přímky kuželového prostoru a nazývají se vnitřní body kuželového prostoru, vrchol V nepatří mezi vnitřní body kuželového prostoru. ^[1][2]

Kruhový kužel

Je-li řídící křivka kružnice, pak kruh omezený touto kružnicí ${\displaystyle k}$ tvoří podstavu kužele. Kruhový kužel je těleso, které tvoří kuželový prostor mezi rovinou ${\displaystyle \rho }$ a bodem V. Rovina ${\displaystyle \rho }$ je rovina podstavy kužele. Kružnice ${\displaystyle k}$ tvoří podstavnou hranu a bod V vrchol kužele.^[3]

Přímka ${\displaystyle o}$ je osa kuželové plochy. Každé přímce ${\displaystyle p}$, ležící na kuželové ploše se říká povrchová přímka (površka) kuželové plochy.

Rotací přímky ${\displaystyle p}$, kolem přímky ${\displaystyle o}$, pro kterou platí ${\displaystyle \longleftrightarrow p\nparallel \longleftrightarrow o}$ vznikne rotační kuželová plocha.

Přímka a rovina, procházející vrcholem kuželové plochy se nazývá vrcholová přímka a vrcholová rovina. Každé povrchové přímky kuželové plochy se dotýká právě jedna tečná rovina. Právě vrcholem prochází vrcholová rovina

Rotační kuželová plocha je množina všech přímek ${\displaystyle p}$ prostoru, které procházejí průsečíkem přímek ${\displaystyle p}$ a dané přímky ${\displaystyle o}$, přičemž odchylka ${\displaystyle \varphi }$ těchto přímek a přímky ${\displaystyle o}$ je stejná ${\displaystyle (0^{\circ }<\varphi <90^{\circ })}$.^[4]

Rotační kužel

Rotační kužel je těleso vzniklé rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem přímky ${\displaystyle o}$, na které leží jedna jeho odvěsna nebo rotací rovnoramenného trojúhelníku kolem jeho výšky na základnu (rovnoramenný kužel).

• Přímka ${\displaystyle o}$ je osa kužele,
• bod přepony, který leží na ose se nazývá vrchol kužele,
• podstavu kužele tvoří kruh, který je vytvořen rotací odvěsny kolmé k ose ${\displaystyle o}$ ,
• poloměr (průměr) rotačního kužele je poloměr (průměr) podstavy,
• výška rotačního kužele je (kolmá) vzdálenost vrcholu kužele od roviny podstavy.

Výpočty

Značení kužele

${\displaystyle r}$	poloměr podstavy
${\displaystyle h}$	výška kužele (také někdy ${\displaystyle v}$)
${\displaystyle s}$	délka strany (površky) kužele
${\displaystyle S_{p}}$	obsah podstavy kužele
${\displaystyle S_{pl}}$	obsah pláště kužele
${\displaystyle S}$	povrch rotačního kužele
${\displaystyle V}$	objem rotačního kužele

Objem rotačního kužele

Odvození výpočtu: podstava rotačního kužele je kruh se středem ${\displaystyle S}$ a poloměrem ${\displaystyle r}$. Výška rotačního kužele ${\displaystyle v}$ je kolmá na rovinu podstavy a platí ${\displaystyle v=|SV|}$.

V kartézské soustavě souřadnic (${\displaystyle 0,x,y}$) lze určit rovnici přímky ${\displaystyle p}$,na které leží površka ${\displaystyle s}$ a jejíž rotací kolem osy ${\displaystyle x}$ vznikl rotační kužel. Přímka ${\displaystyle p}$ prochází počátkem ${\displaystyle [}$${\displaystyle 0,0]}$. Její rovnici lze tedy zapsat ve tvaru ${\displaystyle y=k.x}$ , kde ${\displaystyle k}$ je směrnice přímky, pro kterou platí ${\displaystyle k=tg\ \alpha }$. Přímka ${\displaystyle p}$ prochází bodem ${\displaystyle [}$${\displaystyle v,r]}$, tedy platí ${\displaystyle k={\tfrac {r}{v}}}$.

Rovnici přímky lze tedy zapsat ${\displaystyle y={\frac {r}{v}}.x}$

Je třeba vzít v úvahu, že kolem osy ${\displaystyle x}$ rotuje pouze část přímky ${\displaystyle p}$, tj. úsečka, jejímž kolmým průmětem do osy ${\displaystyle x}$ je interval ${\displaystyle \langle 0,v\rangle }$. Potom lze spočítat objem rotačního kužele:^[5]

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{v}{\frac {r^{2}}{v^{2}}}.x^{2}dx=\pi \left[{\frac {r^{2}}{v^{2}}}.{\frac {r^{3}}{3}}\right]_{0}^{v}=\pi {\frac {r^{2}}{v^{2}}}{\frac {v^{3}}{3}}={\frac {\pi r^{2}v}{3}}}$

• ${\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}v}{3}}=}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\cdot S_{p}\cdot v}$

Povrh rotačního kužele

Povrch rotačního kužele vznikne součtem obsahu podstavy (${\displaystyle S_{p}=\pi .r^{2}}$) a obsahu pláště ${\displaystyle S_{pl}}$ . Obsah podstavy je obsah kruhu. Odvodit stačí vzorec pro výpočet obsahu pláště, tedy ${\displaystyle S_{pl}=\pi rs}$.

Postup:

První derivace rovnice přímky ${\displaystyle p}$: ${\displaystyle y'={\frac {r}{v}}}$

S využitím Pythagorovy věty ${\displaystyle s^{2}=v^{2}+r^{2}}$ lze spočítat ${\displaystyle {\sqrt {1+y'^{2}}}={\sqrt {1+{\frac {r^{2}}{v^{2}}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}+r^{2}}{v^{2}}}}={\sqrt {\frac {s^{2}}{v^{2}}}}={\frac {s}{v}}}$ a dále

${\displaystyle S=2\pi \int _{0}^{v}{\frac {r}{v}}.x.{\frac {s}{v}}dx=2\pi \left[{\frac {r}{v}}.{\frac {x^{2}}{2}}.{\frac {s}{v}}\right]_{0}^{v}=2\pi .{\frac {r}{v}}.{\frac {v^{2}}{2}}.{\frac {s}{v}}=\pi rs}$

• ${\displaystyle S=S_{p}+S_{pl}=\pi r(r+s)\,\!}$ ${\displaystyle =\pi r^{2}\,\!}$${\displaystyle +\pi rs\,\!}$

Vlastnosti rotačního kužele

• Není středově souměrný.
• Je osově souměrný podle spojnice vrcholu kužele se středem podstavy.
• Je rovinově souměrný podle nekonečně mnoha rovin - rovinou souměrnosti je každá rovina, která v sobě obsahuje jeho osu (tj. vrchol a střed podstavy).

• V jistém smyslu je kužel „limitním případem“ posloupnosti pravidelných n-bokých jehlanů pro n jdoucí do nekonečna. Lze porovnat vzorce pro výpočet objemu jehlanu a objemu kužele.

Kuželosečky

Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou.

Singulární řezy kužele – rovina řezu prochází vrcholem kužele (= vrcholová rovina)

• průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
• průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
• průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

Regulární řezy kužele – pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:

• průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele (obr. B dole)
• průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele (obr. B nahoře)
• průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (obr. A)
• průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele) (obr. C)

Rovnice

Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině ${\displaystyle z=c}$ prochází elipsou ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ (tzv. řídící křivka) je popsána rovnicí

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0}$

Přímky, které tvoří povrch kužele, se nazývají tvořící přímky.

Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=\pm 1}$

Pro ${\displaystyle a=b}$ jde o rotační kužel s osou rotace ${\displaystyle z}$.

Kuželovou plochu s vrcholem v bodě ${\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}$ je vždy možné vyjádřit rovnicí

${\displaystyle F\left({\frac {x-x_{0}}{z-z_{0}}},{\frac {y-y_{0}}{z-z_{0}}}\right)=0}$

Rovnice

Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině ${\displaystyle z=c}$ prochází elipsou ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ (tzv. řídící křivka) je popsána

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0}$

Přímky, které tvoří povrch kužele, se nazývají tvořící přímky.

Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=\pm 1}$

Pro ${\displaystyle a=b}$ jde o rotační kužel s osou rotace ${\displaystyle z}$.

Kuželovou plochu s vrcholem v bodě ${\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}$ je vždy možné vyjádřit rovnicí

${\displaystyle F\left({\frac {x-x_{0}}{z-z_{0}}},{\frac {y-y_{0}}{z-z_{0}}}\right)=0}$

Reference

Literatura

• Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 107-108
• Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 122-123

Související články

• Geometrický útvar
• Kvadratická plocha
• Oblá tělesa
• Mnohostěn
• Válec
• Jehlan
• Komolý kužel
• Elipsa
• Parabola (matematika)
• Hyperbola

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kužel na Wikimedia Commons

• Slovníkové heslo kužel ve Wikislovníku

Zdroj