Elipsa

Elipsa je uzavřená křivka v rovině. Elipsu lze definovat jako množinu všech bodů v rovině, které mají stálý součet vzdáleností 2a od dvou pevně daných bodů, tzv. ohnisek (v obrázku označeny F₁, F₂; |F₁F₂| < 2a). Elipsa patří mezi kuželosečky, je to algebraická křivka 2. stupně. Velký praktický význam má v konstruktivní geometrii, protože vzniká jako průmět kružnice, jiné kuželosečky anebo v astronomii, protože velmi přesně popisuje tvar dráhy těles v gravitačním poli centrálního tělesa.

Pojmosloví

• Průvodič je úsečka, spojující libovolný bod na elipse s ohniskem.
• Střed elipsy je střed úsečky, jejíž konce tvoří ohniska elipsy (značí se S).
• Hlavní osa je přímka procházející ohnisky elipsy. Někdy se takto označuje pouze průměr (úsečka) procházející ohnisky. Je to nejdelší průměr elipsy (délky 2a).
• Hlavní vrcholy jsou průsečíky elipsy s hlavní osou (v obrázku označeny A, B).
• Hlavní poloosa je úsečka spojující střed elipsy s hlavním vrcholem (délky a=|AS|=|BS|).
• Vedlejší osa je kolmice na hlavní osu procházející středem elipsy. Někdy se takto označuje pouze průměr kolmý na hlavní osu elipsy. Jedná se o nejkratší průměr elipsy (délky 2b).
• Vedlejší vrcholy jsou průsečíky elipsy s vedlejší osou (v obrázku označeny C, D). Vzdálenost vedlejších vrcholů od ohnisek je rovna délce hlavní poloosy, tj. |CF₁|=|CF₂|=|DF₁|=|DF₂|=a.
• Vedlejší poloosa je úsečka spojující střed elipsy s vedlejším vrcholem (délky b=|CS|=|DS|).
• Excentricita (výstřednost), podrobněji lineární nebo délková excentricita, je vzdálenost ohniska a středu elipsy (značí se e).
• Číselná neboli numerická excentricita ε je podíl excentricity a délky hlavní poloosy, tj. ε=e/a.

Rovnice

Rovnici elipsy lze zapsat v různých tvarech.

Kanonický tvar

Kanonický tvar rovnice elipsy v normální poloze (tzn. hlavní osa je rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$ a střed má souřadnice ${\displaystyle [x_{0},y_{0}]}$) je

${\displaystyle {\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{b^{2}}}=1}$

V kartézských souřadnicích lze v normální poloze elipsu se středem v počátku vyjádřit rovnicí

${\displaystyle \left({x \over a}\right)^{2}+\left({y \over b}\right)^{2}=1\,}$,

kde a je délka hlavní poloosy, b je délka vedlejší poloosy a ${\displaystyle [x,y]}$ jsou souřadnice libovolného bodu elipsy. Veličina ${\displaystyle e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ se nazývá excentricita elipsy (výstřednost) a vyjadřuje vzdálenost ohniska od středu elipsy.

Vrcholová rovnice

Vrcholová rovnice elipsy má tvar

${\displaystyle y^{2}=2px-{\frac {p}{a}}x^{2}}$,

kde ${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}}$ je tzv. parametr elipsy. Tato rovnice vyjadřuje elipsu, jejíž hlavní vrchol leží v počátku souřadné soustavy a hlavní osa je rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$.

Rovnice kuželosečky

Obecná rovnice kuželosečky

${\displaystyle a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0}$

je rovnicí elipsy, pokud platí ${\displaystyle a_{12}^{2}-4a_{11}a_{22}<0,}$ a rovnicí elipsy v normální poloze, pokud jsou splněny následující podmínky

${\displaystyle \operatorname {sgn} a_{11}=\operatorname {sgn} a_{22}=\operatorname {sgn}(a_{22}a_{13}^{2}+a_{11}a_{23}^{2}-a_{11}a_{22}a_{33})}$

${\displaystyle a_{12}=0}$

${\displaystyle |a_{11}|<|a_{22}|}$

Elipsa zadaná rovnicí kuželosečky splňující tyto podmínky má hlavní poloosu o délce

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {a_{22}a_{13}^{2}+a_{11}a_{23}^{2}-a_{11}a_{22}a_{33}}{a_{11}^{2}a_{22}}}}}$

Délka vedlejší poloosy je

${\displaystyle b={\sqrt {\frac {a_{22}a_{13}^{2}+a_{11}a_{23}^{2}-a_{11}a_{22}a_{33}}{a_{22}^{2}a_{11}}}}}$

Střed elipsy má souřadnice

${\displaystyle \left[-{\frac {a_{13}}{a_{11}}},-{\frac {a_{23}}{a_{22}}}\right]}$

Parametrické rovnice

Elipsu lze vyjádřit parametrickými rovnicemi

${\displaystyle x=a\,\cos t}$

${\displaystyle y=b\,\sin t}$

kde ${\displaystyle t\in \langle 0,2\pi \rangle }$ je tzv. excentrická anomálie.

Rovnice v polárních souřadnicích

V polárních souřadnicích lze v případě, že ohnisko ${\displaystyle F_{2}}$ leží v počátku souřadnicové soustavy a polární osou je polopřímka ${\displaystyle F_{2}S_{1}}$ (tj. na obrázku výše osa ${\displaystyle X}$, od které bude proti směru hodinových ručiček přibývat úhel ${\displaystyle \varphi }$) psát rovnici elipsy ve tvaru

${\displaystyle \rho ={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \varphi }}}$,

kde ${\displaystyle \varepsilon =e/a<1}$ je tzv. číselná výstřednost a ${\displaystyle p}$ je parametr elipsy. Číselná výstřednost vyjadřuje míru zploštění elipsy, míru odlišnosti od kružnice. Má smysl ji porovnávat i pro různě velké elipsy. Geometrický význam parametru je polovina délky tětivy vedené ohniskem kolmo na hlavní osu.

Pokud v počátku souřadnicové soustavy leží střed elipsy a polární osou je polopřímka ${\displaystyle SS_{1}}$, pak dostáváme rovnici

${\displaystyle \rho ^{2}={\frac {b^{2}}{1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\varphi }}}$

pro ${\displaystyle \varepsilon <1}$.

Geometrické vlastnosti elipsy

O elipse říkáme, že je v normální poloze, je-li její hlavní osa rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$ nebo ${\displaystyle y}$.

Elipsa patří mezi kuželosečky, protože ji lze zkonstruovat jako řez rotační kuželové plochy rovinou. Rovina řezu není kolmá k ose kužele, neprochází jeho vrcholem a rovina s ní rovnoběžná vedená vrcholem nemá s kuželem žádný společný bod.

Každá přímka procházející středem S elipsy je jejím průměrem. Ze dvou na sebe kolmých průměrů m a n s pomocí trojúhelníkové konstrukce (viz Konstrukce elipsy) můžeme sestrojit sdružené průměry m_a a n_a, v jejichž koncovými body prochází rovnoběžky s n_a a m_a, které jsou zároveň tečnami elipsy, a vytvářejí tak rovnoběžník. Jediné 2 sdružené průměry, které jsou na sebe kolmé, jsou osy elipsy. Dva sdružené průměry omezené body náležícími elipse jednoznačně určují elipsu.

Odrazová vlastnost elipsy: U zrcadla s vnitřní eliptickou odrazovou plochou a zdrojem světla v jednom ohnisku se všechny paprsky podle zákona odrazu odrazí do jediného bodu — druhého ohniska. Žádná jiná křivka nemá tuto vlastnost, takže ji lze použít jako alternativní definici elipsy.

Obsah plochy ohraničené elipsou lze určit ze vzorce

kde a,b jsou poloosy a ${\displaystyle \pi }$ je Ludolfovo číslo.

Obvod (délku elipsy) lze určit pomocí vztahu

kde a je hlavní poloosa, ε (číselná) excentricita a funkce ${\displaystyle E}$ je úplný eliptický integrál druhého druhu, nebo přibližných vzorců

či částečným součtem nekonečné řady:

Speciálním případem elipsy je kružnice, u které obě ohniska splývají. Excentricita je pak nulová, obě poloosy stejně dlouhé a říkáme jim poloměr.

Limitním případem elipsy je parabola, kterou lze chápat jako elipsu s jedním nevlastním ohniskem.

Konstrukce elipsy

Zahradnická konstrukce

Zahradnická konstrukce elipsy vychází přímo z definice, že elipsa je množina takových bodů v rovině, které mají stejný součet vzdáleností od obou ohnisek: v ohniscích elipsy se zabodnou kolíky (při kreslení na papír špendlíky), ke každému z nich se připevní jeden konec provázku (nitě) větší délky než je jejich vzdálenost, a opíše se elipsa, tak aby byl provázek napnutý. Je zřejmé, že délka provázku se rovná dvojnásobku velikosti velké poloosy, a že vzdálenost vedlejšího vrcholu od ohniska je rovna délce velké poloosy a.

Trojúhelníková konstrukce

Trojúhelníková konstrukce elipsy vychází z faktu, že elipsa je afinním obrazem kružnice^[1]:

Je zadán střed S, osy o₁ a o₂ a délky poloos: a (hlavní), b (vedlejší).

Postup

1. Sestrojíme kružnici k₁ se středem v bodě S a poloměrem velikosti b.
2. Sestrojíme kružnici k₂ se středem v bodě S a poloměrem velikosti a.
3. Vedeme libovolnou polopřímku p vycházející z bodu S.
4. Bod M₁ je průsečík polopřímky p s kružnicí k₁.
5. Bod M₂ je průsečík polopřímky p s kružnicí k₂.
6. Bodem M₁ vedeme přímku p₁ rovnoběžnou s hlavní osou elipsy o₁.
7. Bodem M₂ vedeme přímku p₂ rovnoběžnou s vedlejší osou elipsy o₂.
8. Průsečíkem přímek p₁ a p₂ je bod M, který je bodem elipsy
9. Opakujeme body postupu 3-8; všechny takto sestrojené body elipsy se nachází mezi kružnicemi k₁ a k₂ nebo přímo na kružnicích (v případě hlavních a vedlejších vrcholů).

Proužková konstrukce

Elipsa je určena hlavní osou o₁, hlavními vrcholy A a B a bodem M, který bude ležet na elipse, ale není vrcholem elipsy.

Postup

Rozdílová konstrukce (viz obrázek): První krok pro získání velikosti poloosy b je podobný s trojúhelníkovou konstrukcí: sestrojíme k hlavní ose o₁ kolmici m₁ a rovnoběžku m₂ které procházejí známým bodem M. Kružnice k₁ se středem v S má poloměr velikosti a. Vznikl nám tak bod M₁ který je průsečíkem kolmice m₁ a kružnice k₁. Bod M₁ spojíme přímkou m se středem S a nyní je už zřejmý bod M₂, jenž je průsečíkem m s m₂. Vzdálenost M₂ od S je hledaná velikost poloosy b.
Bodem M povedeme rovnoběžku m´, m || m´.
Průsečík této přímky m´ s hlavní poloosou o₁ nazveme P₁. Vzniklá úsečka MP₁ má velikost b.
Průsečík této přímky m´ s vedlejší poloosou o₂ nazveme P₂. Vzniklá úsečka MP₂ má velikost a. Nyní si na okraji pomocného pruhu papíru označíme vzdálenosti MP₂ a MP₁ do jedné přímky M - P₁ - P₂ (z tohoto plyne název proužková konstrukce). Poté přikládáme proužek papíru tak, aby značka bodu P₂ byla na vedlejší poloose o₂ a zároveň značka bodu P₁ byla na hlavní poloose o₁. Značka bodu M nám tak bude opisovat hledanou elipsu. Tento typ konstrukce se nazývá rozdílová. Používá se i součtová konstrukce, kterou můžete vidět na obrázku vpravo.

Příčková konstrukce

Elipsa je v tomto případě dána dvojicí sdružených průměrů RQ a MN, které na sebe nejsou kolmé (viz Geometrické vlastnosti elipsy).

Postup

V bodech R a Q sestrojíme rovnoběžky s druhým sdruženým průměrem MN. V bodech M a N sestrojíme rovnoběžky s druhým sdruženým průměrem RQ. Vznikne nám rovnoběžník s vrcholy M₁N₁R₁Q₁, které jsou průsečíky rovnoběžek k průměrům MN a RQ.
Sdružené průměry se protínají v průsečíku S, který je středem elipsy.
Vytvoříme si čtveřici soustředných (dle středu S) souřadnicových systémů, jejichž počátky budou vrcholy vzniklého rovnoběžníku M₁N₁R₁Q₁ a poloosy budou strany rovnoběžníku. Na všech poloosách si stejně vyznačíme vhodné jednotky (př. 1, 2, 3, 4). Poloosy souřadných systémů se stýkají v koncových bodech sdružených průměrů MNRQ. Jednotky máme již vyznačené na rovnoběžkách sdružených průměrů, tak je ještě stejně vyznačíme přímo na sdružených průměrech MN a RQ, a to tak, že střed S je počátkem.
Nyní budeme hledat body náležící elipse. Začneme například body nad sdruženým průměrem MN v souřadnicovém systému určeným body NSQ. Proložíme přímku bodem N a souřadnicí (např. 2) na poloose rovnoběžné k NM, na které leží bod Q. Poté proložíme přímku bodem M a souřadnicí 2 na poloose určené body SQ (SQ náleží průměru RQ). Průsečík takto proložených přímek nám dává bod ležící na elipse.
(Pozn. zmiňované poloosy nejsou poloosami elipsy, ale souřadných systémů.)

Tato elipsa nemá určené osy ani vrcholy, abychom je zjistili, musíme použít Rytzovu konstrukci os elipsy.

Rytzova konstrukce os

Elipsa je dána dvojicí omezených sdružených průměrů MN a RQ.

Postup

Sestrojíme přímku p kolmou k jednomu ze sdružených průměrů (např. RQ, tak aby procházela středem S (průsečík sdružených průměrů). Vzdálenost |RS| je shodná se vzdáleností |SP|, bod P leží na přímce p. Proložíme přímku body PM.
Najdeme střed O úsečky PM. Sestrojíme kružnici k o poloměru |OS|. Průsečíky kružnice k s přímkou určenou body P, O a M nazveme 1 a 2. Sestrojíme přímku procházející průsečíkem 1 a středem S a přímku procházející průsečíkem 2 a středem S. Tyto přímky jsou na sebe kolmé a leží na nich osy elipsy. Velikost hlavní a vedlejší poloosy získáme ze vzdáleností |2M| a |M1|.

Elipsa ve fyzice

Johannes Kepler objevil, že planety se kolem Slunce pohybují po elipsách s malou excentricitou. To je první Keplerův zákon. Později Isaac Newton vysvětlil tento fakt jako důsledek zákona gravitace.

Reference

Související články

• Kuželosečky
• Kružnice
• Rovinné geometrické útvary
• Tissotova indikatrix
• Hypocykloida

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu elipsa na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo elipsa ve Wikislovníku
• Elipsa v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Dva způsoby rýsování elipsy: využitím hlavní a vedlejší poloosy nebo ohnisek (YouTube)
• Výpočet obvodu elipsy

Zdroj