Hamiltonián

Hamiltonův operátor (Hamiltonián) je diferenciální operátor na Hilbertově prostoru komplexních vlnových funkcí. Je pojmenován po siru W. R. Hamiltonovi a značí se . Hamiltonián (tímto pojmem se také označuje původní Hamiltonova funkce v klasické mechanice) je operátor energie v kvantové mechanice, který ve většině případů odpovídá celkové energii soustavy. Jeho význam je dán spojitostí s popisem časového vývoje v kvantové mechanice, viz Schrödingerova rovnice. Dále pak tím, že možné hodnoty energie, kterých může nabýt systém popsaný hamiltoniánem , patří do jeho spektra.

Odvození klasického tvaru

Pro bodovou částici je její celková mechanická energie součtem kinetické a potenciální energie. Operátor kinetické energie získáme dosazením operátoru hybnosti () do klasického vztahu . Hamiltonián pak můžeme zapisovat výhodně ve tvaru

kde je hmotnost částice, je Laplaceův operátor a je potenciální energie silového pole, v němž se částice pohybuje. Hamiltonián v této podobě je klíčovou součástí Schrödingerovy rovnice. Ta popisuje vývoj vlnové funkce v čase, který interpretujeme jako pohyb částice, jde tedy o kvantovou rovnici pohybu.

Spektrum

Spektrum Hamiltoniánu vyjadřuje možné hodnoty energie částice. Například pro elektron v elektrickém poli protonu známe průběh potenciální energie z Coulombova zákona. Hamiltonián má tedy tvar

kde je hmotnost elektronu, je elektrický náboj elektronu, je Ludolfovo číslo, je permitivita vakua a je vzdálenost od protonu. Spektrum tohoto operátoru dává možné energie

kde je tzv. Bohrův poloměr (0,53×10−10 m) a je kvantové číslo. Rozdíly mezi těmito hladinami přesně odpovídají pozorovanému absorpčnímu spektru nejjednoduššího prvku v přírodě - vodíku. Záporné znaménko energie odpovídá vázanému stavu - na ionizaci atomu vodíku v základním stavu je třeba dodat kladnou energii E1=2,179×10−18 J.

Relativistická verze

Schrödingerova rovnice s výše uvedeným výrazem pro Hamiltonián není invariantní vůči Lorentzově transformaci, takže je nesprávná z hlediska teorie relativity. V relativistické mechanice je výraz pro energii složitější, takže musí být modifikován i Hamiltonián. Jeden z možných přístupů k tomuto zpřesnění lze nalézt v hesle Diracova rovnice, kde je i relativisticky opravený výraz pro Hamiltonián.

kde jsou souřadnice vektoru hybnosti a jsou vhodně zvolené matice. V Diracově (standardní) reprezentaci jsou to matice

jsou přitom Pauliho matice a značí jednotkovou matici 2×2.

Komutování s jinými operátory

Související informace naleznete také v článku Komutátor (algebra).

Vodíkový hamiltonián (nebo hamiltonián vodíku podobného atomu, tzn. s jedním elektronem) uvedený výše komutuje s operátory kvadrátu momentu hybnosti L2 a každou jeho složkou. Jednotlivé složky momentu hybnosti ale nekomutují mezi sebou, proto je řešení atomů určeno třemi kvantovými čísly.

Víceelektronové atomy mají hamiltonián skládající se z několika jednoelektronových a dále pak z členů odpovídající vzájemné coulombické interakci mezi jednotlivými elektrony. Např. Lithium má hamiltonián

S tímto hamiltoniánem komutují operátory orbitálního momentu hybnosti (což plyne z vyjádření a z toho, že ) i , opět máme tedy tři kvantová čísla.

Dále Hamiltonián často komutuje s operátory spinů nebo prohození částic.

Literatura

  • HRIVŇÁK, DANIEL. DIFERENCIÁLNÍ OPERÁTORY VEKTOROVÉ ANALÝZY. [s.l.]: OSTRAVSKÁ UNIVERZITA, 2002. Dostupné online. 

Související články

Zdroj