Hamiltonova funkce

Hamiltonova funkce (též označovaná jako hamiltonián - pod tímto pojmem však bývá obvykle myšlen Hamiltonův operátor) označuje ve fyzice funkci vyjadřující energii fyzikálního systému v zobecněných souřadnicích a hybnostech.

Hamiltonova funkce hraje důležitou úlohu v Hamiltonovské formulaci mechaniky.

Funkce je pojmenována po Williamu Rowanu Hamiltonovi.

Definice

Hamiltonova funkce mechanického systému s ${\displaystyle m\,}$ stupni volnosti je definována vztahem:

${\displaystyle H(q_{1},q_{2},....q_{m},p_{1},p_{2},....p_{m},t)=\sum _{i=1}^{m}{\dot {q}}_{i}\,p_{i}-L(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)}$,

kde ${\displaystyle L\,}$ je Lagrangeova funkce systému a na pravé straně jsou zobecněné rychlosti ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ vyjádřené jako funkce zobecněných souřadnic ${\displaystyle q_{1},q_{2},....q_{m}\,}$, zobecněných hybností ${\displaystyle p_{1},p_{2},....p_{m}\,}$ a případně času ${\displaystyle t}$, tzn.

${\displaystyle {\dot {q}}_{j}={\dot {q}}_{j}(q_{1},q_{2},....q_{m},p_{1},p_{2},....p_{m},t)}$.

Vlastnosti

Hamiltonova funkce se nemění při pohybu, u kterého Lagrangeova funkce není explicitně závislá na čase. Dosadí-li se totiž Lagrangeovy pohybové rovnice do totální derivace Lagrangeovy funkce:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial L}{\partial t}}=\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}}$,

poslední člen je vzhledem k explicitní nezávislosti lagrangiánu nulový, a dosadí-li se Lagrangeovy pohybové rovnice, vychází:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-L\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L\right)={\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=0}$

Lagrangeovu funkci ${\displaystyle L(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)}$ lze získat z Hamiltonovy funkce ${\displaystyle H(q_{1},q_{2},....q_{m},p_{1},p_{2},....p_{m},t)\,}$ dosazením za ${\displaystyle p_{j}\,}$ zobecněných souřadnic, rychlostí a času podle Hamiltonových rovnic.

Přechod od Lagrangeovy k Hamiltonově funkci, tedy přechod od proměnných ${\displaystyle q_{j},{\dot {q}}_{j}}$ k proměnným ${\displaystyle q_{j},p_{j}\,}$, se nazývá Legendreova duální transformace.

Hustota hamiltoniánu

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota hamiltoniánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

${\displaystyle H=\int {\mathcal {H}}(q_{j}(\mathbf {x} ),p_{j}(\mathbf {x} ),t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} }$

Jednoduché příklady

• Hamiltonova funkce pro pohyb volné částice (hmotného bodu):

${\displaystyle H={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}}$

• Hamiltonova funkce částice s nábojem ${\displaystyle q\,}$ v elektromagnetickém poli s elektrickým potenciálem ${\displaystyle \varphi \,}$ a vektorovým potenciálem ${\displaystyle {\vec {A}}}$:

${\displaystyle H={\frac {({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}}{2m}}+q\varphi }$

• Hamiltonova funkce relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s ${\displaystyle q\,}$):

${\displaystyle H={\sqrt {m^{2}c^{4}+({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}c^{2}}}+q\varphi }$

Literatura

• BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha: Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 3.10.1 Hamiltonovy rovnice, 3.10.2 Legendrova duální transformace, s. 329–330. 
• LEECH, J. W. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha: SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra). 04-012-70. Kapitola Hamiltonova funkce, s. 45–46. 

Související články

• Hamiltonovská formulace mechaniky
• Hamiltonův operátor
• Lagrangeova funkce

Zdroj