Diagonální matice

V lineární algebře označuje pojem diagonální matice čtvercovou matici n×n, která může mít nenulové prvky pouze na hlavní diagonále. Někdy se tento termín používá i pro obdélníkové matice, ale v tomto článku toto zobecnění nebudeme uvažovat.

Příkladem diagonální matice je matice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\end{pmatrix}}}$

Diagonální matice se někdy zapisuje jako diag(a₁, …, a_n), kde a_i odpovídá prvku matice a_ii. Matice v předchozím příkladu je tedy diag(1, 4, -3).

Každá jednotková matice a každá čtvercová nulová matice je diagonální maticí.

Vlastnosti

Každá diagonální matice je symetrická, dolní trojúhelníková a horní trojúhelníková.

Součet a součin dvou diagonálních matic dá opět diagonální matici. Pro součet platí

diag(a₁, …, a_n) + diag(b₁, …, b_n) = diag(a₁+b₁, …, a_n+b_n)

a pro součin

diag(a₁, …, a_n) · diag(b₁, …, b_n) = diag(a₁b₁, …, a_nb_n).

Pro každou diagonální matici D platí, že transponovaná matice D^T = D.

Inverzní matice existuje, právě když jsou všechny prvky na diagonále nenulové. Pak platí

diag(a₁, …, a_n)⁻¹ = diag(a₁⁻¹, …, a_n⁻¹).

Determinant diagonální matice je součin prvků na diagonále.

Vlastní čísla diagonální matice jsou právě prvky na diagonále.

Zdroj