Sdružený operátor

Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.

Definice

Jsou-li ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ Hilbertovy prostory, pak k lineárnímu operátoru ${\displaystyle T:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}}$ sdruženým operátorem ${\displaystyle T^{*}:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {H}}}$, nazveme takový operátor, který splňuje: ${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle \quad \forall x\in {\mathcal {H}},y\in {\mathcal {K}}.}$

Rieszova věta zaručuje existenci a jednoznačnost sdruženého operátoru.

Často se pro sdružený operátor též používá značení ${\displaystyle A^{\dagger }}$, ve fyzice někdy ${\displaystyle A^{+}}$.

Vlastnosti

Základní vlastnosti

• ${\displaystyle T^{**}=T}$
• ${\displaystyle (S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}}$
• ${\displaystyle (ST)^{*}=T^{*}S^{*}}$
• ${\displaystyle (\lambda T)^{*}={\overline {\lambda }}T^{*}}$
• Je-li ${\displaystyle T}$ invertibilní, tak: ${\displaystyle (T^{*})^{-1}=(T^{-1})^{*}}$
• V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. hermiteovsky sdružená neboli adjungovaná matice.

Vlastnosti normy operátoru

Máme-li běžnou operátorovu normu

${\displaystyle \|T\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|Tx\|}$

Tak platí:

${\displaystyle \|T\|=\|T^{*}\|}$

A navíc:

${\displaystyle \|T^{*}T\|=\|T\|^{2}}$

Vztah jádra a obrazu

Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj.:

${\displaystyle \operatorname {Ker} \ T^{*}=(\operatorname {Im} \ T)^{\bot }}$

${\displaystyle (\operatorname {Ker} \ T^{*})^{\bot }={\overline {\operatorname {Im} \ T}}}$

Prvá rovnost platí protože:

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{*}x=0&\iff \langle T^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in {\mathcal {H}}\\&\iff \langle x,Ty\rangle =0\quad \forall y\in {\mathcal {H}}\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {Im} \ T\end{aligned}}}$

Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.

Zdroj