Rieszova věta o reprezentaci je důležité matematické tvrzení z oboru funkcionální analýzy. Tato věta umožňuje reprezentovat funkcionály na Hilbertově prostoru skalárním součinem s jistým prvkem tohoto prostoru.
Znění
Pro každý spojitý lineární funkcionál na Hilbertově prostoru existuje jediný vektor takový, že:
-
.
A navíc:
Poznámky
Podmínka spojitosti funkcionálu je ekvivalentní s podmínkou omezenosti.
V dovětku je třeba správně rozlišovat druhy norem:
ale
-
.
Využití
V praxi jsou skalární součiny často definovány nějakým vzorcem s použitím integrálu nebo lineární formou, v takových případech Rieszova věta zaručuje, že funkcionály je možné zapsat obdobným vzorcem. V teorii je Rieszova věta nezbytná pro zavedení sdružených operátorů, které jsou významné samy o sobě. Dále je této věty potřeba při zavádění duálních prostorů, které mají velké využití například v kvantové fyzice.
Důkaz
Nejprve ověříme korektnost tvrzení, tedy že taková reprezentace není v rozporu s linearitou a omezeností a funkcionálu:
Obdobě omezenost, tu zajišťuje Cauchyho–Schwarzova nerovnost.
Nyní dokážeme, že požadovaný vektor musí vždy existovat.
- Pro je důkaz triviální, předpokládejme tedy dále, že . je tedy uzavřený vlastní podprostor , existuje tedy nenulový vektor .
- Označme a ukažme, že .
- Pro platí: .
- Jelikož je libovolný a platí , stačí již jen ukázat, že:
- Můžeme ztotožnit , takže existence je dokázána.
Jednoznačnost dokážeme sporem:
- Předpokládejme, že existují dva vektory , takové že:
- Z toho plyne: , což je spor s předpokladem.
Zbývá dokázat dovětek:
- Vezměme vektor , takový, že , pak platí:
- Zároveň však:
- Z čehož vyvodíme . ∎
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-05-08 04:00:23
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Rieszova věta)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.