Vytvořující funkce (fyzika)

Vytvořující funkce známá také jako generující funkce představuje volnost v určení Lagrangiánu. Taková volnost se nazývá kalibrační volnost. Dva Lagrangiány spojené kalibrační transformací jsou plně fyzikálně rovnocenné a vedou na stejné rovnice pohybu. V rámci Hamiltonovy formulace mechaniky vytvořující funkce zase představuje volnost v určení Hamiltoniánu.

Pokud se dva různé Lagrangiány ${\displaystyle L,L'}$ liší o úplnou časovou derivaci libovolné hladká funkce ${\displaystyle F}$, pak jsou rovnocenné a vedou na stejné rovnice pohybu. Taková libovolná funkce ${\displaystyle F}$ je generující funkcí. Vztah můžeme vyjádřit jako

${\displaystyle L'=L+{\frac {dF}{dt}}}$.

Hladkost funkce ${\displaystyle F}$ vyžadujeme, aby její derivace existovaly. Obecně se může jednat o funkci všech parametrů konfiguračního prostoru, tedy času a zobecněných souřadnic ${\displaystyle q^{i}}$. Tento fakt zapisujeme ve tvaru

${\displaystyle F=F(q^{i},t)}$.

Volnost v Lagrangiánu se přelévá i do volnosti v Hamiltoniánu, protože obě funkce jsou navzájem spojeny Legendreovou transformací. Různé Hamiltoniány ${\displaystyle H,H'}$, které vedou na stejné rovnice pohybu můžeme z fyzikálního hlediska považovat za rovnocenné. Kalibrační volnost lze vyjádřit rovnicí

${\displaystyle H=H'+{\frac {\partial F_{a}}{\partial t}}.}$

Volnost Hamiltonovy funkce pro určitý fyzikální systém přesně odpovídá takzvaným kanonickým transformacím a příslušnou funkci ${\displaystyle F_{a}}$ pak nazýváme generující funkcí kanonické transformace.

Kanonické transformace souvisejí se změnou prametrizace fázového prostoru. Staré parametry značme ${\displaystyle q^{i},p_{j}}$ a nové značme ${\displaystyle Q^{i},P_{j}}$. Generujícící funkce obecně závisí jak na starých tak i na nových proměnných. Celkem existují 4 různé kombinace a tedy 4 druhy vytvořujících funkcí ${\displaystyle F_{a}~~a=1,\dots ,4}$. Vytvořující funkce se standardně značí tak, že závislosti na souřadnicích jsou v následujícím pořadí:

${\displaystyle F_{1}=F_{1}(q^{i},Q^{j},t)}$

${\displaystyle F_{2}=F_{2}(q^{i},P_{j},t)}$

${\displaystyle F_{3}=F_{3}(p_{i},Q^{j},t)}$

${\displaystyle F_{4}=F_{4}(p_{i},P_{j},t)}$

Každé kanonické transformaci tak mohou příslušet nejvýše 4 vytvořující funkce. Ne vždy ale existují všechny. V degenerovaných případech jich může být i méně. Například pro triviální transformaci q^i=Q^i,p_j=P_j existují pouze 2 z nich a to ${\displaystyle F_{2}(q^{i},P_{j},t)}$ a ${\displaystyle F_{3}(p_{i},Q^{j},t)}$.

Vytvořující funkce jsou navzájem spojené Legendreovou transformací stejně jako samotný Lagrangián a Hamiltonián. Mezi funkcemi platí vztahy:

${\displaystyle F_{2}(q^{i},P_{j},t)=F_{1}(q^{i},Q^{j},t)+\sum \limits _{k}Q^{k}P_{k}}$

${\displaystyle F_{3}(p_{i},Q^{j},t)=F_{1}(q^{i},Q^{j},t)-\sum \limits _{k}q^{k}p_{k}}$

${\displaystyle F_{4}(p_{i},P_{j},t)=F_{1}(q^{i},Q^{j},t)-\sum \limits _{k}q^{k}p_{k}+\sum \limits _{l}Q^{l}P_{l}}$

Ne každá funkce může být vytvořující funkcí pro kanonickou transformaci v Hamiltonově formalismu. Nutné a zároveň dostačující podmínky jsou shrnuty v následující tabulce.

podmínky pro vytvořující funkce

druh vytvořující funkce	nutné podmínky
${\displaystyle F_{1}(q^{i},Q^{j},t)}$	${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial F_{1}}{\partial q^{i}}}}$	${\displaystyle P_{j}=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q^{j}}}}$
${\displaystyle F_{2}(q^{i},P_{j},t)}$	${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial F_{2}}{\partial q^{i}}}}$	${\displaystyle Q^{j}={\frac {\partial F_{2}}{\partial P_{j}}}}$
${\displaystyle F_{3}(p_{i},Q^{j},t)}$	${\displaystyle q^{i}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p_{i}}}}$	${\displaystyle P_{j}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q^{j}}}}$
${\displaystyle F_{4}(p_{i},P_{j},t)}$	${\displaystyle q^{i}=-{\frac {\partial F_{4}}{\partial p_{i}}}}$	${\displaystyle Q^{j}={\frac {\partial F_{4}}{\partial P_{j}}}}$

Začněme definicí vytvořující funkce a napišme si oba Lagrangiány jako funkce proměnných ve fázovém prostoru.

${\displaystyle L'(q^{i},p_{i},t)=L(Q^{i},P^{i},t)+{\frac {dF_{1}}{dt}}(q^{i},Q^{i},t)}$.

Nyní použijeme definici Hamiltoniánu a zároveň si rozepíšeme úplnou derivaci ${\displaystyle F_{1}}$ pomocí řetízkového pravidla.

${\displaystyle \sum \limits _{k}{\dot {q}}^{k}p_{k}-H'(q^{i},p_{i},t)=\sum \limits _{k}{\dot {Q}}^{k}P_{k}-H(Q^{i},P^{i},t)+\sum \limits _{k}\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial q^{k}}}{\dot {q}}^{k}+{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q^{k}}}{\dot {Q}}^{k}\right)+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}(q^{i},Q^{i},t)}$^{[pozn. 1]}

Zbývá jen přeskupit členy a dostáváme

${\displaystyle \sum \limits _{k}\left(\left(p_{k}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial q^{k}}}\right){\dot {q}}^{k}-\left(P_{i}+{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q^{k}}}\right){\dot {Q}}^{k}\right)+H(Q^{i},P^{i},t)=H'(q^{i},p_{i},t)+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}(q^{i},Q^{i},t)}$.

Kýženou rovnost získáme pokud je suma na levé straně nulová, což obecně platí když jsou splněny následující rovnosti.

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial F_{1}}{\partial q^{k}}}}$

${\displaystyle P_{k}=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q^{k}}}}$

To jsou právě příslušné podmínky v tabulce. Pro ostatní vytvořující funkce ${\displaystyle F_{2},F_{3},F_{4}}$ probíhá důkaz obdobně, jen si je přepíšeme pomocí výše uvedených vztahů pomocí ${\displaystyle F_{1}}$.

• PODOLSKÝ, Jiří. Teoretická mechanika ve třech knihách. 1. vyd. [s.l.]: Matfyzpress, 2024. 432 s. ISBN 978-80-7378-499-7. 

• kanonická transformace
• zobecněné souřadnice
• Poissonovy závorky

• [1] – hlavní stránka Ústavu teoretické fyziky MFF UK

Zdroj