Uzávěr množiny (anglicky closure) je nejmenší uzavřená množina topologického prostoru, která danou množinu obsahuje. Uzávěr značíme většinou , popř. .
Neformální úvod
Pojem uzavřená množina lze názorně definovat na reálných číslech nebo v Euklidovském prostoru, abstraktněji v metrických prostorech a ještě obecněji v topologickém prostoru.
Níže uvedená definice a vlastnosti platí pro každou z právě vyjmenovaných situací.
Definice
Průnik všech uzavřených množin topologického prostoru , které obsahují jako svou podmnožinu, nazveme uzávěr množiny , značíme .
-
je uzavřená
Ekvivalentně lze definovat uzávěr množiny jako množinu všech bodů topologického prostoru, jejichž libovolné okolí má neprázdný průnik s .
Vnitřní a vnější body
Uzávěr množiny metrického prostoru lze také vyjádřit s pomocí rozdílu množin jako , kde označuje vnitřek množiny .
Vnitřek množiny tvoří množina všech vnitřních bodů. Bod označíme jako vnitřní bod množiny , pokud existuje takové , že pro množinu platí .
Pokud platí , pak se množina nazývá otevřená (v metrice ).
Pro množiny metrického prostoru platí vztahy
- pokud , pak platí také
- každá otevřená podmnožina množiny je podmnožinou
- množinu získáme jako sjednocení všech otevřených podmnožin množiny .
Je-li částí metrického prostoru , pak vnitřek množiny nazveme vnějškem množiny . Body nacházející se ve vnějšku nazýváme vnějšími body množiny .
Pokud existuje takové okolí bodu , že , pak bod a nazýváme izolovaným bodem.
Jestliže každé okolí bodu obsahuje prvek množiny různý od x, pak bod x se nazývá hromadným bodem množiny .
Bod uzávěru je hromadným bodem množiny (pokud se nejedná o izolovaný bod).
Vlastnosti uzávěru
- Z toho, že průnik libovolného počtu uzavřených množin je uzavřená množina, je i uzávěr množiny uzavřená množina. Naopak platí, že množina je uzavřená pravě tehdy, když je rovna svému uzávěru, tzn. .
- Uzávěr celého je , tzn. .
- Pro platí
-
(Ale pozor: obrácená inkluze obecně neplatí! Zvažme například situaci a .)
- pokud , pak
- je-li je podmnožinou uzavřené množiny , pak
Související články
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-05-08 05:18:37
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Uzávěr množiny)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.