Sylvesterův zákon setrvačnosti je matematické tvrzení z oboru lineární algebry charakterizující vyjádření kvadratické formy diagonální maticí.
Znění věty
Pro každou kvadratickou formu f existuje báze, vůči které má f diagonální matici s prvky -1,0,1. Navíc, tato matice je, až na pořadí prvků, jednoznačná.
Důkaz
Existence
Buď matice formy . A je symetrická, takže existuje její spektrální rozklad , kde . Čili je diagonalizace formy. Pro na diagonále provedeme úpravu , kde je diagonální matice s prvky pro a pro .
Jednoznačnost
Nechť existují dvě různé diagonalizace pro bázi a prostoru . Buď libovolné a nechť má souřadnice a . Pak
,
.
Platí , protože pro nějakou regulární . Proto mají stejnou hodnost. Ukažme, že nutně . BÚNO nechť . Definujme prostory a . Pak .
Tedy existuje nenulový a pro něj máme z čehož dostaneme a zároveň , což je spor.
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-03-26 17:46:37
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Sylvesterův zákon setrvačnosti)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.