Kvadratická forma je kvadratická funkce na vektorovém prostoru, zúžení (restrikce) bilineární formy.
Kvadratické formy jsou důležitým matematickým pojmem, vyskytují se například v geometrii kvadrik nebo teorii čísel. Užívají se také ve fyzice a např. jako energie systému.
Definice
Nechť je bilineární forma na vektorovém prostoru nad tělesem . Pak funkce
se nazývá kvadratická forma na .
Základní vlastnosti
Všechny kvadratické formy jsou homogenní funkce 2. řádu, tzn.
pro všechna a .
Nejběžnější kvadratická forma na prostoru s reálným skalárním součinem je kvadrát normy
Kvadratickou formu můžeme v souřadnicích rozepsat jako
kde jsou prvky čtvercové symetrické matice řádu .
Druhy kvadratických forem
Kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru se nazývá
-
pozitivně definitní, jestliže platí
-
pozitivně semidefinitní, jestliže platí
-
negativně definitní, jestliže platí
-
negativně semidefinitní, jestliže platí
-
indefinitní, jestliže taková, že a .
Literatura
-
HAMHALTER, Jan; TIŠER, Jaroslav. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Praha: vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 80-01-01589-0. S. 139.
-
BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 197.
-
MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru. Praha: Karolinum, 2003. ISBN 80-246-0421-3. S. 337.
Související články
Externí odkazy
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-04-08 10:53:23
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Kvadratická forma)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.