Stokesova věta

Stokesova věta^[1] je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu vektorového pole v prostoru přes hladkou uzavřenou orientovanou křivku a plošným integrálem rotace vektorového pole přes hladkou orientovanou plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. zobecněné Stokesovy věty. Naopak speciálním případem Stokesovy věty v rovině je Greenova věta. Autorem Stokesovy věty je irský fyzik Georg Stokes.

Znění věty

Je-li ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=[F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z)]}$ vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na otevřené jednoduše souvislé po částech hladké kladně orientované ploše ${\displaystyle S}$ ohraničené po částech hladkou jednoduchou uzavřenou kladně orientovanou křivkou ${\displaystyle C}$, pak platí:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\iint _{S}\left({\nabla \times \mathbf {F} }\right)\cdot \mathbf {n} \ \mathrm {d} S=}$

${\displaystyle =\iint _{S}({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}})\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z+({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}})\ \mathrm {d} z\ \mathrm {d} x+({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}})\ \mathrm {d} x\ \mathrm {d} y=}$

${\displaystyle =\oint _{C}(F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y+F_{z}\mathrm {d} z)}$,

kde ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ je rotace vektorového pole ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$, kde ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =[dx,dy,dz]}$, vyjádřená pomocí operátoru nabla a křivka ${\displaystyle C}$ je orientována tak, že při obíhání po této křivce v kladném smyslu je plocha ${\displaystyle S}$ vždy po levé straně.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Stokes' theorem na anglické Wikipedii.

Související články

• Fubiniova věta

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Stokesova věta na Wikimedia Commons

Zdroj