Mějme orientovanou křivku, která je definována rovnicemi pro . Na této křivce k nechť je definována funkce.
Křivku k rozdělíme na oblouků v bodech s parametry . Na každém oblouku zvolíme bod o souřadnicích a sestrojíme součty
kde je délka oblouku .
Největší z délek při daném dělení nazveme normou dělení, tzn. .
Pokud existuje takové číslo , resp. , resp. , že k libovolnému lze najít takové , že , resp. , resp. pro každé dělení , pro které bez ohledu na volbu bodů na , pak říkáme, že existuje křivkový integrálfunkce po křivcek vzhledem k x, resp. k y, resp. k s, což zapisujeme vztahy
Integrál označujeme jako křivkový integrál prvního druhu, integrály jako křivkové integrály druhého druhu.
Je-li funkce spojitá na křivce k, pak uvedené integrály existují.
Za integrál druhého druhu se považuje také integrál
Je-li křivka kuzavřená, pak k označení křivkového integrálu po této křivce užíváme integrační znak .
Význam křivkových integrálů je demonstrován na obrázku. Obsahplochy, která je nad křivkou k ohraničena funkcí , je určen křivkovým integrálem prvního druhu, tedy integrálem . Obsah (orientovaného) průmětu této plochy do roviny, resp. , je určen integrálem , resp. .
Zobecnění křivkových integrálů na prostorové křivky je přímočaré. Je-li na oblasti definována spojitá funkce a křivka k zadaná parametricky vztahy pro , pak křivkový integrál prvého druhu zapíšeme
Křivkové integrály druhého druhu pak mají tvar
Vlastnosti křivkových integrálů
Je-li korientovaná křivka, kterou lze rozložit na dvě souhlasně orientované křivky , pak pro křivkové integrály druhého druhu platí
a podobně pro křivkové integrály prvního druhu
Jsou-li na křivce k definovány funkce , pak pro libovolné konstanty
Označme jako křivku, která má opačnou orientaci než křivka . Při změně orientace křivky změní integrály druhého druhu své znaménko, tzn.
Integrály prvního druhu při změně orientace znaménko nemění, tzn.
Komplexní analýza
V komplexní analýze se operuje s křivkovými integrály z funkce komplexní proměnné přes křivky v komplexní rovině. Křivkový integrál z holomorfnífunkcef(z) po C1křivce γ(t) , kde t je její parametr probíhající interval <a,b>
kde se integruje zvlášť reálná a imaginární část. Jde-li o uzavřenou křivku, potom se používá značení
Mějme funkci f(z)=1/z a křivku C definovanou jako jednotkovou kladně orientovanou kružnici se středem v počátku, která je parametrizována jako eit, kde parametr t probíhá <0, 2π>:
Ve vektorovém počtu hrají důležitou roli především integrály prvního druhu (tedy integrály ze skalárního pole podél křivky) a integrály druhého druhu (integrály z vektorového nebo obecně tenzorového pole podél křivky).
Integrál prvního druhu
Nechť f je skalární poleRn→R spojité po částech C1 podél křivkyγ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rn, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál prvního druhu
Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci (integruje se podle elementu délky křivky), jen na křivce, podél které se integruje. Integrál skalárního pole po křivce vzniklé napojením dvou křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu nezávisí na směru integrace (orientaci křivky). Integrál z funkce 1 je roven délce křivky:
Integrál druhého druhu
Nechť A je vektorové poleRn→Rn spojité po částech C1 podél křivkyγ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rn, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál druhého druhu je
Absolutní hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci, jen na orientaci křivky, podél které se integruje. Integrál vektorového pole po křivce vzniklé napojením dvou stejně orientovaných křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu při změně směru integrace (orientace křivky) změní znaménko.
Transformace integrálu II. druhu
Integrál 2. druhu lze vždy převést na integrál 1. druhu z tečné souřadnice daného vektorového pole:
Za jistých dodatečných předpokladů lze křivkový integrál II. druhu převést na rozdíl potenciálů anebo na plošný integrál II. druhu.
Počítáme-li křivkový integrál II. druhu z konzervativního pole (nevírové, je gradientem nějaké funkce F) na křivce s počátečním bodem a koncovým bodem , lze psát
.
Integrál zde tedy nezávisí na cestě (křivce), ale jen na počátečním a koncovém bodu (a hodnotách potenciálu v nich).
Počítáme-li křivkový integrál II. druhu z nekonzervativního pole (vírového) po uzavřené křivce (tzv. cirkulaci), můžeme použít klasickou Stokesovu větu:
.
Užití
Křivkové integrály mají široké využití v geometrii (např. výpočet délky křivky) a ve fyzice, jako příklad lze uvést výpočet vykonané práce podél dráhy – ta je rovna křivkovému integrálu (druhého druhu) vektorusíly podle dráhy.
STRMISKA, Martin. Aplikace křivkového integrálu. Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 2015, 75s. Dostupné také z: http://hdl.handle.net/10563/34231. Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně. Fakulta aplikované informatiky, Ústav automatizace a řídicí techniky.
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.