Reziduová věta

Vyjádříme-li meromorfní funkci ${\displaystyle f(z)}$ v okolí jejího izolovaného singulárního bodu ${\displaystyle z_{0}}$ Laurentovou řadou (pro ${\displaystyle z\neq z_{0}}$), pak číslo ${\displaystyle a_{-1}}$ se nazývá reziduum funkce ${\displaystyle f(z)}$ v bodě ${\displaystyle z_{0}}$.

Na základě vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje získáme

${\displaystyle a_{-1}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{c}f(z)\mathrm {d} z}$

Reziduová věta

Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou uzavřenou křivku ${\displaystyle c}$, která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {G} }$. Uvažujme funkci ${\displaystyle \scriptstyle f(z)}$, která je v ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {G} }$ holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}}$ a s výjimkou těchto bodů spojitá v ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {G} \cup c}$. Pak integrál

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{c}f(z)\mathrm {d} z}$

je roven součtu reziduí funkce ${\displaystyle f(z)}$ v bodech ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}}$, tzn.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{c}f(z)\mathrm {d} z=\sum _{k=1}^{n}\mathrm {Res} {[f(z)]}_{z=z_{k}}}$,

kde ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {Res} {[f(z)]}_{z=z_{k}}}$ označuje reziduum funkce ${\displaystyle f(z)}$ v bodě ${\displaystyle z_{k}}$.

Výpočet reziduí

Má-li meromorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

${\displaystyle \operatorname {Res} \left[f\right]_{z=c}=\lim _{z\to c}(z-c)f(z),}$

nebo přímo použitím reziduové věty

${\displaystyle \operatorname {Res} \left[f\right]_{z=c}={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }f(z)\,dz}$

kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.

Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako

${\displaystyle \operatorname {Res} \left[f\right]_{z=c}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.}$

Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c pól řádu n vyjádřeno jako:

${\displaystyle \operatorname {Res} \left[f\right]_{z=c}={\frac {1}{(n-1)!}}\cdot \lim _{z\to c}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{n-1}\left(f(z)\cdot (z-c)^{n}\right).}$

Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |z − c| < R }, potom Res[f]_z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

Související články

• Laurentova řada

Zdroj