Schurův rozklad

Schurův rozklad je rozklad čtvercové matice ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ve tvaru ${\displaystyle \displaystyle A=QRQ^{*}}$, kde ${\displaystyle \displaystyle Q}$ je unitární matice a ${\displaystyle \displaystyle R}$ je horní trojúhelníková matice, která má na diagonále vlastní čísla matice ${\displaystyle \displaystyle A}$. V numerické lineární algebře se tento rozklad velmi často využívá, a to především k výpočtu vlastních čísel matice.

Schurův rozklad normální matice

Je-li navíc matice ${\displaystyle \displaystyle A}$ normální, tj. ${\displaystyle \displaystyle AA^{*}=A^{*}A}$ (speciálně je-li matice ${\displaystyle \displaystyle A}$ symetrická, hermitovská, antisymetrická, antihermitovská, ortogonální, nebo unitární), pak

${\displaystyle {\begin{array}{rl}(QRQ^{*})(QRQ^{*})^{*}&=(QRQ^{*})^{*}(QRQ^{*}),\\(QRQ^{*})(QR^{*}Q^{*})&=(QR^{*}Q^{*})(QRQ^{*}),\\QRR^{*}Q^{*}&=QR^{*}RQ^{*},\\RR^{*}&=R^{*}R,\end{array}}}$

je také matice ${\displaystyle \displaystyle R}$ normální. Porovnáním (diagonálních) prvků matic ${\displaystyle \displaystyle RR^{*}}$ a ${\displaystyle \displaystyle R^{*}R}$ zjistíme, že matice ${\displaystyle \displaystyle R}$ je diagonální.

Porovnáním prvních prvků prvního řádku rovnosti

${\displaystyle [RR^{*}]_{1,1}=|r_{1,1}|^{2}+\sum _{j=2}^{n}|r_{1,j}|^{2}=|r_{1,1}|^{2}=[R^{*}R]_{1,1},}$

dostaneme ${\displaystyle \displaystyle r_{1,j}=0}$, ${\displaystyle \displaystyle j=2,\ldots ,n}$. Analogicky postupujeme dále.

Schurova věta

Pro libovolnou matici ${\displaystyle \displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ existuje unitární matice ${\displaystyle \displaystyle Q}$ tak, že ${\displaystyle \displaystyle R=Q^{*}AQ}$ je horní trojúhelníková matice s vlastními čísly matice ${\displaystyle \displaystyle A}$ na diagonále v libovoném předepsaném pořadí. Je-li navíc matice ${\displaystyle \displaystyle A}$ normální, je matice ${\displaystyle R}$ diagonální.

Výpočet

K výpočtu Schurova rozkladu se využívá QR algoritmu, který je založen na QR rozkladu. Avšak pro matici řádu většího nebo rovno 5 nelze obecně spočíst tento rozklad v konečném počtu kroků.

Zdroj