Ortogonální matice

Ortogonální matice (někdy také ortonormální) je reálná čtvercová matice, jejíž transponovaná matice je současně maticí inverzní. Řádky (respektive sloupce) této matice tvoří soustavu ortonormálních vektorů. Množina všech ortogonálních matic tvoří tzv. ortogonální grupu.

Vlastnosti ortogonální matice

Uvažujme matici

${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n},}$

která je ortogonální, tedy

${\displaystyle Q^{T}=Q^{-1}.}$

Označme ${\displaystyle q_{j},\;j=1,\ldots ,n}$, její sloupce,

${\displaystyle Q=[q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}].}$

Z rovnosti

${\displaystyle Q^{T}Q=Q^{-1}Q=I}$

ihned plyne

${\displaystyle q_{j}^{T}q_{k}=\langle q_{k},q_{j}\rangle =0\qquad \Longleftrightarrow \qquad j\neq k,}$

${\displaystyle q_{j}^{T}q_{k}=\langle q_{k},q_{j}\rangle =1\qquad \Longleftrightarrow \qquad j=k,}$

přičemž ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ značí standardní (eukleidovský) skalární součin.

Tedy vektory ${\displaystyle q_{j},\;j=1,\ldots ,n}$, tj. sloupce ortogonální matice ${\displaystyle Q}$ jsou navzájem ortonormální.

Vzhledem k tomu, že inverzní matice ${\displaystyle Q^{-1}}$ k dané matici ${\displaystyle Q}$ je určena jednoznačně a komutuje s ní, tj. platí

${\displaystyle Q^{-1}Q=I=QQ^{-1},}$

pak pro ortogonální matici platí

${\displaystyle Q^{T}Q=I=QQ^{T},}$

a stejnou úvahu, kterou jsme uplatnili na sloupce, můžeme zcela analogicky uplatnit i na její řádky.

Tedy řádky ortogonální matice ${\displaystyle Q}$ jsou také navzájem ortonormální.

Terminologie

V současné literatuře z oblasti lineární algebry a maticových výpočtů se setkáváme převážně s názvem ortogonální matice, navzdory tomu, že její sloupce, resp. řádky, jsou ortonormální.

Ve starší literatuře, nebo literatuře z jiných oborů (kde se s těmito maticemi setkáváme v nejrůznějších aplikacích) se můžeme z výše uvedeného důvodu setkat i názvem ortonormální matice.

Odkazy

Související články

• Ortogonalita, Ortonormalita
• QR rozklad
• Gramova-Schmidtova ortogonalizace
• Ortogonální grupa

Zdroj