Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.
Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.
Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic , jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn.
-
,
kde je dimenze prostoru a funkce (tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru .
Vektory a integrály
Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice jako . Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru jako
-
,
kde jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic . Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézského systému souřadnic.
Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn.
Tedy např. integrál po křivce má v ortogonálních souřadnicích tvar
-
,
kde je složka vektoru ve směru -tého jednotkového vektoru
Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát , kde , a pro infinitezimální element objemu , kde a
. Např. integrál přes plochu ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar
Diferenciální operátory ve třech rozměrech
Gradient lze vyjádřit jako
Laplaceův operátor má tvar
Operátor divergence se zapíše jako
kde je -tá složka vektoru .
Podobně lze operátor rotace vyjádřit ve tvaru
Příklady
Dvourozměrné ortogonální soustavy souřadnic
Třírozměrné ortogonální soustavy souřadnic
Externí odkazy
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-09-15 15:36:24
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Pravoúhlé souřadnice)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.