Oortovy konstanty

Oortovy konstanty se označují písmeny ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$. Vycházejí z Lindbladova-Oortova modelu, který předpokládá, že pohyb hvězd ve slunečním okolí lze vysvětlit jako rotaci okolo vzdáleného středu (galaktického centra). Jedná se tedy o pohyb uspořádaným způsobem kolmo na průvodič. Pro sluneční okolí jsou hodnoty

${\displaystyle A\approx 13\,\mathrm {km\,s^{-1}\,kpc^{-1}} }$

${\displaystyle B\approx -13\,\mathrm {km\,s^{-1}\,kpc^{-1}} }$

Odvození

V odvození se předpokládá, že okolní hvězdy jsou výrazně blíže ke Slunci než ke galaktickému středu. Lze se proto omezit pouze na lineární závislosti. Tento předpoklad je pro hvězdy do vzdálenosti 1 kpc dobře splněn. Dále se předpokládá, že je galaktický disk tenký a že je galaktická šířka pro okolní hvězdy blízká nule, tj. ${\displaystyle b\approx 0}$.

Indexem ${\displaystyle _{0}}$ se označují proměnné vztažené ke Slunci. Definujme tedy vzdálenost Slunce od galaktického centra ${\displaystyle R_{0}}$ , okamžitou rychlost obíhání Slunce ${\displaystyle \theta _{0}}$ a úhlovou rychlost Slunce (z definice pro úhlovou rychlost tuhého tělesa)

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {\theta _{0}}{R_{0}}}}$ .

Uvažujme hvězdu ve vzdálenosti ${\displaystyle d}$ od Slunce a ${\displaystyle R}$ od galaktického středu s galaktickou délkou ${\displaystyle l}$ , která obíhá rychlostí ${\displaystyle \theta }$ a úhlovou rychlostí ${\displaystyle \omega }$. Označme úhel, který svírá vektor rychlosti hvězdy se zorným paprskem ${\displaystyle \alpha }$ (viz obrázek).

První Oortova konstanta

Je zřejmé, že radiální rychlost hvězdy (tj. rychlost ve směru zorného paprsku) bude

${\displaystyle v_{R\star }=\theta \cos {\alpha }}$ .

Víme-li navíc, že pohyb Slunce ve směru zorného paprsku je

${\displaystyle v_{R0}=\theta _{0}\sin {l}}$ ,

můžeme zapsat relativní radiální rychlost hvězdy vůči Slunci jako

${\displaystyle v_{R}=\theta \cos {\alpha }-\theta _{0}\sin {l}}$ .

Ze sinové věty pro trojúhelník s vrcholy Slunce, hvězdy a galaktický střed plyne

${\displaystyle {\frac {\sin {(90^{\circ }+\alpha )}}{R_{0}}}={\frac {\sin {l}}{R}}}$

${\displaystyle {\frac {\cos {\alpha }}{R_{0}}}={\frac {\sin {l}}{R}}}$

a tedy

${\displaystyle v_{R}=\left({\frac {\theta }{R}}-{\frac {\theta _{0}}{R_{0}}}\right)R_{0}\sin {l}=(\omega -\omega _{0})R_{0}\sin {l}}$ .

Protože je ${\displaystyle \omega (R)}$ , použijeme na závorku v předchozím vztahu Taylorův rozvoj do lineárního členu.

${\displaystyle (\omega -\omega _{0})=\left({\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} R}}\right)_{0}(R-R_{0})}$

Spočítáme derivaci

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} R}}\right)_{0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} R}}\left({\frac {\theta }{R}}\right)_{0}={\frac {1}{R_{0}}}\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} R}}\right)_{0}-\left({\frac {\theta }{R^{2}}}\right)_{0}}$

a za již zmíněného předpokladu, že jsme v blízkosti Slunce, je

${\displaystyle R-R_{0}\approx -d\cos {l}}$ .

Po dosazení dostaneme

${\displaystyle v_{R}=-\left[\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} R}}\right)_{0}-\left({\frac {\theta }{R}}\right)_{0}\right]d\sin {l}\cos {l}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\theta }{R}}-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} R}}\right]_{0}d\sin {(2l)}}$ .

První Oortovu konstantu definujeme předpisem

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\theta }{R}}-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} R}}\right]_{0}}$ ,

pak lze relativní radiální rychlost zapsat také jako

${\displaystyle v_{R}=Ad\sin {(2l)}}$ .

Druhá Oortova konstanta

Druhá Oortova konstanta souvisí s pohybem kolmo na směr zorného paprsku, neboli s tečnou složkou rychlosti. Pro hvězdu je tečná rychlost

${\displaystyle v_{T\star }=\theta \sin {\alpha }}$

a pro Slunce je

${\displaystyle v_{T0}=\theta _{0}\cos {l}}$ ,

je tedy zřejmé, že tečná rychlost hvězdy vzhledem ke Slunci je

${\displaystyle v_{T}=\theta \sin {\alpha }-\theta _{0}\cos {l}}$ .

Z geometrie (viz obrázek) plyne

${\displaystyle R\sin {\alpha }+d=R_{0}\cos {l}}$ .

Po dosazení dostaneme

${\displaystyle v_{T}=(\omega -\omega _{0})R_{0}\cos {l}-\omega d}$

a díky tomu, že jsme v blízkosti Slunce, můžeme také psát

${\displaystyle \omega d=\omega _{0}d+(\omega -\omega _{0})d\approx \omega _{0}d}$ .

Stejným postupem jako při odvozování Oortovy konstanty ${\displaystyle A}$ vyjde

${\displaystyle v_{T}=-\left[{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} R}}-{\frac {\theta }{R}}\right]_{0}d\cos ^{2}{l}-\omega _{0}d={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\theta }{R}}-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} R}}\right]_{0}d\cos {(2l)}-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\theta }{R}}+{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} R}}\right]_{0}d}$ .

Po zavedení druhé Oortovy konstanty předpisem

${\displaystyle B=-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\theta }{R}}+{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} R}}\right]_{0}}$

můžeme tečnou relativní rychlost zapsat jako

${\displaystyle v_{T}=Ad\cos {(2l)}+Bd}$ .

Použití

Z Oortových konstant lze spočítat např. gradient rychlosti nebo úhlovou rychlost. Pro gradient rychlosti obě konstanty sečteme

${\displaystyle A+B=-\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} R}}\right)_{0}\approx 0}$ .

Nulový gradient je zde díky tomu, že v okolí Slunce jsou Oortovy konstanty ${\displaystyle A\approx -B}$ , z toho vyplývá, že je rotační křivka ve slunečním okolí plochá.

Odečtením konstant dostaneme úhlovou rychlost

${\displaystyle A-B=\left({\frac {\theta }{R}}\right)_{0}=\omega _{0}\approx 26\,\mathrm {km\,s^{-1}\,kpc^{-1}} }$ ,

hodnota je opět pro Slunce. Z ní lze odhadnout periodu obíhání Slunce okolo středu Galaxie ${\displaystyle T_{0}=250\,\mathrm {Myr} }$.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Oortovy konstanty na Wikimedia Commons

Zdroj