Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic

V numerické matematice je numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic postup, kterým můžeme získat přibližné řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Používá se v případech, kdy by bylo nalezení přesného (analytického) řešení náročné nebo v případech, kdy analytické řešení nelze najít.

Diferenciální rovnice a její počáteční podmínky bývají často uváděny v tomto tvaru:

${\displaystyle y'(t)=f(t,y)}$

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$

Metody řešení

Funkce f(t,y) (někdy se nazývá stavová rovnice) může být obecně velmi komplikovaná, proto je nutné řešit rovnici numericky. V takovém případě probíhá řešení v diskrétních časových krocích ${\displaystyle \Delta t}$:

${\displaystyle y(t+\Delta t)=y(t)+D(t,y)\Delta t}$

${\displaystyle D(t,y)}$ je funkce (někdy též směrová funkce), která se snaží aproximovat ${\displaystyle y'(t)}$ tak, aby ${\displaystyle y(t+\Delta t)}$ bylo co nejpřesnější.

Eulerova metoda

Existuje více metod, jak v daném čase získat co nejlepší aproximaci derivace, nejjednodušší je Eulerova metoda:

${\displaystyle D(t,y)=f(t,y)}$

Rungeovy–Kuttovy metody

Obecně lze Rungeovy–Kuttovy metody zapsat následovně:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{p}w_{i}k_{i}}$

${\displaystyle k_{i}=f(t+\alpha _{i}h,\,y_{n}+h\sum _{j=1}^{i-1}\beta _{ij}k_{j})}$

Koeficienty u těchto metod jsou vypočteny tak, aby metoda řádu ${\displaystyle p}$ odpovídala Taylorovu polynomu funkce ${\displaystyle y(t)}$ stejného řádu. (Eulerova metoda je vlastně metodou prvního řádu.)

Často se používá čtyřbodová metoda Runge-Kutta (RK4), která je čtvrtého řádu.

${\displaystyle k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)}$

${\displaystyle k_{2}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{1}\right)}$

${\displaystyle k_{3}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{2}\right)}$

${\displaystyle k_{4}=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)}$

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{h \over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})}$

(Korespondence různých způsobů zápisu: ${\displaystyle h=\Delta t}$; ${\displaystyle t_{n}=n\Delta t}$; ${\displaystyle y_{n}=y(t_{n})}$; ${\displaystyle D(t,y)=(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})/6}$. Korespondence s obecným vzorcem: ${\displaystyle k_{1}=k_{4}=1/6}$; ${\displaystyle k_{2}=k_{3}=1/3}$; ${\displaystyle \alpha _{1}=\beta _{31}=\beta _{41}=\beta _{42}=0}$; ${\displaystyle \alpha _{2}=\alpha _{3}=\beta _{21}=\beta _{32}=1/2}$; ${\displaystyle \alpha _{4}=\beta _{43}=1}$.)

Vícekrokové metody

U vícekrokových metod je hodnota ${\displaystyle y_{n+1}}$ vypočtena z předchozích hodnot ${\displaystyle y_{n-i}}$ (respektive ${\displaystyle f_{n-i}}$, ${\displaystyle i=0...k}$) proložených interpolačním polynomem. Řád metody zde odpovídá řádu interpolačního polynomu. (Eulerova metoda je v podstatě jednokrokovou metodou.)

Obecnou vícekrokovou metodu lze zapsat následovně:

${\displaystyle y_{n+1}=\sum _{i=0}^{r}\alpha _{i}y_{n-i}+h\sum _{j=-1}^{s}\beta _{j}f_{n-j}}$

Explicitní metody

Pokud je ${\displaystyle \beta _{-1}=0}$, lze hodnotu ${\displaystyle y_{n+1}}$ určit z ${\displaystyle r+1}$ předchozích hodnot ${\displaystyle y_{n}}$ (respektive z ${\displaystyle s+1}$ předchozích hodnot ${\displaystyle f_{n}}$) a jedná se o metodu explicitní.

Příklad 1, explicitní metoda Adams-Bashford druhého řádu:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\left({3 \over 2}f(t_{n},y_{n})-{1 \over 2}f(t_{n-1},y_{n-1})\right)}$

(Korespondence s obecným vzorcem: ${\displaystyle r=0}$; ${\displaystyle \alpha _{0}=1}$; ${\displaystyle s=1}$; ${\displaystyle \beta _{-1}=0}$; ${\displaystyle \beta _{0}=3/2}$; ${\displaystyle \beta _{1}=-1/2}$.)

Příklad 2, explicitní metoda Adams-Bashford čtvrtého řádu:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\frac {h}{24}}\left(55f_{n}-59f_{n-1}+37f_{n-2}-9f_{n-3}\right)}$

Implicitní metody

Pokud je ${\displaystyle \beta _{-1}}$ různé od nuly, je pro výpočet ${\displaystyle y_{n+1}}$ nutná znalost ${\displaystyle f_{n+1}}$ a jedná se o metodu implicitní.

Příklad, implicitní metoda Adams-Moulton čtvrtého řádu:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\frac {h}{24}}\left(9f_{n+1}+19f_{n}-5f_{n-1}+f_{n-2}\right)}$

Metody prediktor-korektor

Metody prediktor-korektor jsou sloučením explicitních a implicitních metod. Nejprve je použita explicitní metoda pro odhad nového ${\displaystyle y_{n+1}}$. V tomto bodě je vypočtena derivace ${\displaystyle f_{n+1}}$, která je následovně použita v implicitní metodě pro výpočet přesnější aproximace ${\displaystyle y_{n+1}}$.

Související články

• Konvergence numerické metody
• Stabilita numerické metody
• Numerické řešení soustav lineárních rovnic

Zdroj