Eulerova metoda

Eulerova metoda je nejjednodušší metodou numerického řešení obyčejných diferenciálních rovnic s danými počátečními podmínkami. Publikoval ji Leonhard Euler v roce 1768. V oblasti numerické integrace lze nalézt určitou podobnost s obdélníkovou metodou.

Odvození

Eulerova metoda vychází z rovnic pro změnu polohy x(t) a rychlosti v(t) určitého objektu. Proměnná a(t) značí zrychlení.

${\displaystyle a(t)={\frac {dv(t)}{dt}}}$

a

${\displaystyle v(t)={\frac {dx(t)}{dt}}}$

tedy

${\displaystyle v(t_{0}+h)=v(t_{0})+ha(t_{0})\,}$

a

${\displaystyle x(t_{0}+h)=x(t_{0})+hv(t_{0})\,}$

Odchylka (chyba metody)

Odchylku Eulerovy metody lze nejlépe znázornit porovnáním s Taylorovým rozvojem trajektorie daného objektu. Pokud přesně známe x(t), v(t) a a(t) v čase t₀, pak v čase t₀ + h dává Eulerova metoda hodnotu

${\displaystyle x(t_{0}+h)=x(t_{0})+hv(t_{0}).\,}$

Hodnota Taylorova rozvoje je

${\displaystyle x(t_{0}+h)=x(t_{0})+hv(t_{0})+{\frac {1}{2}}h^{2}a(t_{0})+O(h^{3}).}$

Odchylka (také lokální diskretizační chyba nebo chyba jednoho kroku) Eulerovy metody je tedy dána rozdílem mezi těmito dvěma rovnicemi:

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}h^{2}a(t_{0})+O(h^{3}).}$

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Eulerova metoda na Wikimedia Commons

Zdroj