V numerické matematice je numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic postup, kterým můžeme získat přibližné řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Používá se v případech, kdy by bylo nalezení přesného (analytického) řešení náročné nebo v případech, kdy analytické řešení nelze najít.
Diferenciální rovnice a její počáteční podmínky bývají často uváděny v tomto tvaru:
Metody řešení
Funkce f(t,y) (někdy se nazývá stavová rovnice) může být obecně velmi komplikovaná, proto je nutné řešit rovnici numericky. V takovém případě probíhá řešení v diskrétních časových krocích :
je funkce (někdy též směrová funkce), která se snaží aproximovat tak, aby bylo co nejpřesnější.
Eulerova metoda
Existuje více metod, jak v daném čase získat co nejlepší aproximaci derivace, nejjednodušší je Eulerova metoda:
Rungeovy–Kuttovy metody
Obecně lze Rungeovy–Kuttovy metody zapsat následovně:
Koeficienty u těchto metod jsou vypočteny tak, aby metoda řádu odpovídala Taylorovu polynomu funkce stejného řádu. (Eulerova metoda je vlastně metodou prvního řádu.)
Často se používá čtyřbodová metoda Runge-Kutta (RK4), která je čtvrtého řádu.
- (Korespondence různých způsobů zápisu: ; ; ; . Korespondence s obecným vzorcem: ; ; ; ; .)
Vícekrokové metody
U vícekrokových metod je hodnota vypočtena z předchozích hodnot (respektive , ) proložených interpolačním polynomem. Řád metody zde odpovídá řádu interpolačního polynomu. (Eulerova metoda je v podstatě jednokrokovou metodou.)
Obecnou vícekrokovou metodu lze zapsat následovně:
Explicitní metody
Pokud je , lze hodnotu určit z předchozích hodnot (respektive z předchozích hodnot ) a jedná se o metodu explicitní.
Příklad 1, explicitní metoda Adams-Bashford druhého řádu:
- (Korespondence s obecným vzorcem: ; ; ; ; ; .)
Příklad 2, explicitní metoda Adams-Bashford čtvrtého řádu:
Implicitní metody
Pokud je různé od nuly, je pro výpočet nutná znalost a jedná se o metodu implicitní.
Příklad, implicitní metoda Adams-Moulton čtvrtého řádu:
Metody prediktor-korektor
Metody prediktor-korektor jsou sloučením explicitních a implicitních metod. Nejprve je použita explicitní metoda pro odhad nového . V tomto bodě je vypočtena derivace , která je následovně použita v implicitní metodě pro výpočet přesnější aproximace .
Související články
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-03-09 20:47:56
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.