Míra (matematika)

Míra je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů velikosti (délky, obsahu, objemu, případně i počtu). Míra je zvolený způsob, jakým se měří množiny. Mírou množiny se rozumí již konkrétní výsledek (číslo) přiřazený (naměřený) konkrétní množině tímto způsobem.

Přesná definice

Mějme měřitelný prostor ${\displaystyle (X,\Sigma )}$. Množinovou funkci ${\displaystyle \mu :\Sigma \rightarrow \langle 0,\infty \rangle }$ nazveme mírou, jestliže splňuje:

• Míra prázdné množiny je nulová: ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$.
• Míra je vždy nezáporná: ${\displaystyle \forall A:\mu (A)\geq 0}$
• σ-aditivita: Pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty },\ A_{i}\in \Sigma }$ platí ${\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).}$

Trojici ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ pak nazýváme prostor s mírou.

Vlastnosti míry

• ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B)}$
• Pro posloupnost množin ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$ platí: ${\displaystyle \mu (\bigcup _{1}^{\infty }A_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$
• Pro posloupnost podmnožin ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq ...}$ platí: ${\displaystyle \mu (\bigcup _{1}^{\infty }A_{i})=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})}$
• Naopak pro posloupnost nadmnožin: ${\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq ...}$ pokud ${\displaystyle \mu (A_{1})<\infty }$ pak platí: ${\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})}$

Příklady měr

• Diracova míra ${\displaystyle \delta _{a}}$: Nechť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra ${\displaystyle \delta _{a}}$ je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:

${\displaystyle \delta _{a}(A)={\begin{cases}{\mbox{0 pokud }}a\notin A\\{\mbox{1 pokud }}a\in A\end{cases}}}$

• Aritmetická míra
• Lebesgueova míra
• Hausdorffova míra
• Lebesgue-Stieltjesovy míry

Odkazy

Literatura

• Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru
• J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF

Související články

• Neměřitelná množina
• Lebesgueův integrál
• Měřitelný kardinál

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu míra na Wikimedia Commons

Zdroj