Aritmetická míra

Aritmetická míra, též čítací míra nebo počítací míra, je mírou používanou hlavně v diskrétních systémech. Neformálně je to funkce, která množině přiřazuje počet jejích prvků.

Definice

Mějme měřitelný prostor ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X))}$, kde ${\displaystyle X}$ je libovolná množina a ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ značí potenční množinu (${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ je speciální případ σ-algebry na ${\displaystyle X}$). Na takovém prostoru definujeme aritmetickou míru pro ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X)}$ takto:

${\displaystyle \alpha (A)={\begin{cases}|A|&{\mbox{pokud A je konečná množina}}\\\infty &{\mbox{pokud A není konečná}}\end{cases}}}$

Vztah sumy a integrálu

Aritmetická míra umožňuje zavést sumu jako speciální případ integrálu (Lebesgueova). Jelikož je každá podmnožina ${\displaystyle \mathbb {N} }$ měřitelná, tak pro každou funkci (resp. posloupnost) ${\displaystyle g:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ platí:

${\displaystyle \int _{\mathbb {N} }g\,\mathrm {d} \alpha =\sum _{n=0}^{\infty }g(n)}$ Je-li integrál definován.

Tento vztah je užitečný například při zavádění L_p prostoru na množině posloupností.

Zdroj