Binomické koeficienty lze uspořádat do tvaru Pascalova trojúhelníka , ve kterém je každá hodnota součtem dvou hodnot ležících nad ní. Znázornění binomické expanze do čtvrté mocniny Kombinační číslo je matematická funkce , která udává počet kombinací , tzn. způsobů, jak vybrat k {\displaystyle k} -prvkovou podmnožinu z n {\displaystyle n} -prvkové množiny (k {\displaystyle k\,} a n {\displaystyle n\,} jsou čísla přirozená ). Kombinační čísla zapisujeme ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} (čte se „n nad k “), někdy se používá také značení n C k {\displaystyle _{n}C_{k}\,} , C ( n , k ) {\displaystyle C(n,k)\,} či C n k {\displaystyle C_{n}^{k}} . Hodnotu kombinačních čísel lze vyjádřit pomocí faktoriálu :
( n k ) = { n ! k ! ( n − k ) ! pro n ≥ k ≥ 0 ; 0 jinak, {\displaystyle {n \choose k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,&&{\mbox{pro }}n\geq k\geq 0;\\0\,&&{\mbox{jinak,}}\,\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}
Platí rovnost
1 = ( 0 0 ) = ( n 0 ) = ( n n ) . {\displaystyle 1={0 \choose 0}={n \choose 0}={n \choose n}.}
Kombinační čísla se používají hlavně v kombinatorice , velice důležité je využití v binomické větě (přičemž je zde označováno jako binomický koeficient ), v Leibnizově pravidle nebo při výpočtu pravděpodobnosti v binomickém rozdělení .
Základní vlastnosti
Pro přirozená čísla n a k , kde 0 ≦ k ≦ n {\displaystyle 0\leqq k\leqq n} a m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } platí
( n k ) = ( n n − k ) , {\displaystyle {n \choose k}={n \choose {n-k}},}
( n 1 ) = n , {\displaystyle {{n} \choose {1}}=n,}
( n 0 ) = ( n n ) = 1 , {\displaystyle {{n} \choose {0}}={{n} \choose {n}}=1,}
( n k + 1 ) = ( n k ) n − k k + 1 , {\displaystyle {n \choose {k+1}}={n \choose k}{\frac {n-k}{k+1}},}
( n k ) = n k ( n − 1 k − 1 ) , {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}},}
( n + 1 k ) = ( n k ) + ( n k − 1 ) , {\displaystyle {{n+1} \choose {k}}={n \choose k}+{n \choose {k-1}},}
( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) = ( n k ) , {\displaystyle {{n-1} \choose {k-1}}+{{n-1} \choose {k}}={n \choose {k}},}
∑ i = k n ( i k ) = ( n + 1 k + 1 ) , {\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose {k}}={n+1 \choose {k+1}},}
∑ i = 0 n ( k + i i ) = ( k + n + 1 n ) , {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{{k+i} \choose {i}}={k+n+1 \choose n},}
∑ i = 0 n ( n i ) = 2 n , {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}=2^{n},}
∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n i ) = 0 , {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n \choose {i}}=0,}
∑ i = 0 n ( n i ) 2 = ( 2 n n ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}^{2}={2n \choose {n}}}
∑ i = 0 m ( n + i n ) = ( n + m + 1 n + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{m}{{n+i} \choose {n}}={{n+m+1} \choose {n+1}}}
∑ i = 0 m ( n + i k ) = ( n + m + 1 k + 1 ) − ( n + 1 k + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{m}{{n+i} \choose k}={{n+m+1} \choose {k+1}}-{{n+1} \choose {k+1}}}
∑ i = 1 n i = ( n + 1 2 ) = ( n + 1 n − 1 ) = n 2 ( n + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{i}={{n+1} \choose {2}}={{n+1} \choose {n-1}}={\frac {n}{2}}(n+1)}
Zobecnění kombinačních čísel
Pokud definujeme kombinační číslo takto
( z k ) = z ( z − 1 ) ( z − 2 ) ⋯ ( z − k + 1 ) k ! {\displaystyle {z \choose k}={\frac {z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!}}} ,
kde k {\displaystyle k} je nezáporné celé číslo , pak je zřejmé, že pravá strana má smysl, i když číslo z {\displaystyle z} není celé nezáporné. Na číslo z {\displaystyle z} dokonce nemusíme klást žádné podmínky, může se jednat dokonce o číslo komplexní . Vztah je tedy přirozeným zobecněním kombinačních čísel a je používán hlavně v zobecněné binomické větě .
Další možnou definici nám umožňuje nahrazení faktoriálu gama funkcí
( z k ) = Γ ( z + 1 ) Γ ( z − k + 1 ) Γ ( k + 1 ) {\displaystyle {z \choose k}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (z-k+1)\Gamma (k+1)}}}
kde z {\displaystyle z} i k {\displaystyle k} mohou být komplexní čísla – pak ovšem nebudou platit popsané vlastnosti kombinačních čísel pro všechny hodnoty.
Odkazy
Literatura
MATOUŠEK, Jiří; NEŠETŘIL, Jaroslav. Kapitoly z diskrétní matematiky . 3., upravené a doplněné vyd. Praha: Karolinum , 2007. ISBN 978-80-246-1411-3 . Kapitola 3. Kombinatorické počítání, s. 76–82.
BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce . 4., upravené vyd. Praha: Academia , 2006. ISBN 80-200-1448-9 . Kapitola 1.7.1. Binomické koeficienty, binomická věta, s. 156–160.
Související články
Externí odkazy
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2023-11-28 05:56:54
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Kombinační číslo )
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.