Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů.
Znění
Na prostoru s mírou mějme μ-měřitelné funkce na . Dále nechť existují čísla , taková, že: . Pak platí:
-
.
Důležité speciální případy
Pro následující případy předpokládejme, že a .
Aritmetická míra
V případě -rozměrného Eukleidovského prostoru , s množinou a aritmetickou mírou dostáváme:
-
.
Rovnost nastává, právě když .
Lp prostory
Pokud , tak a navíc:
Pro pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.
Důkaz
Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto:
Pro všechna reálná čísla r, s a platí
. Rovnost nastává, právě když r=s nebo . Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-03-16 22:46:34
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Hölderova nerovnost)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.