Hausdorffova dimenze

Hausdorffova míra (dále ${\displaystyle \mathbf {H} ^{s}}$) je „nížedimenzionální“ míra na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, která dovoluje měřit jisté „velmi malé“ podmnožiny ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Zavedl ji Felix Hausdorff. Základní myšlenkou je, že množina ${\displaystyle \mathbf {A} }$ je „s-dimenzionální“ podmnožina množiny ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, platí-li

${\displaystyle 0<H^{s}(A)<\infty }$,

i když ${\displaystyle \mathbf {A} }$ je velmi komplikovaná. ${\displaystyle \mathbf {H} ^{s}}$ je definovaná jako výraz obsahující součet průměrů dobrého spočetného pokrytí.

Formální definice Hausdorffovy míry

Definice: Nechť ${\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbb {R} ^{n},0\leq s<\infty ,0<\delta \leq \infty }$ Definujme

${\displaystyle (i)\,\mathbf {H} _{\delta }^{s}(A)=\inf \left\{{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (s)\left({\frac {\mathrm {diam} (C_{i})}{2}}\right)^{\!\!s}}\;{\Big |}\,{A\subset {\bigcup _{j=1}^{\infty }C_{j}},\mathrm {diam} (C_{j})\leq \delta }\right\},}$

kde

${\displaystyle \alpha (s)={\frac {\pi ^{\frac {s}{2}}}{\Gamma ({\frac {s}{2}}+1)}}}$

tady

${\displaystyle \Gamma (r)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{r-1}dx,(0<r<\infty ),}$

je obyčejná gamma funkce.

${\displaystyle \mathbf {(} ii)}$Pro ${\displaystyle \mathbf {A} }$ a ${\displaystyle \mathbf {s} }$ s vlastnostmi jako výše, definujme:

${\displaystyle H^{s}(A)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{s}(A)=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{s}(A)}$

${\displaystyle \mathbf {H} ^{s}}$ nazveme s-dimenzionální Hausdorffovou mírou na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Elementární vlastnosti Hausdorffovy míry

${\displaystyle \mathbf {H} ^{s}}$ je Borelova regulární míra pro ${\displaystyle 0\leq s<\infty }$, není ale Radonova míra.
Z toho plyne následující:

${\displaystyle (i)\mathbf {H} _{\delta }^{s}}$ je míra.
${\displaystyle (ii)\mathbf {H} ^{s}}$ je míra.
${\displaystyle (iii)\mathbf {H} ^{s}}$ je borelovská míra.

Další zajímavé vlastnosti:

${\displaystyle (i)\mathbf {H} ^{0}}$ je čítací míra.
${\displaystyle (ii)\mathbf {H} ^{1}=\mathbf {L} ^{1}}$ na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, kde ${\displaystyle \mathbf {L} ^{1}}$ je Lebesgueova míra.
${\displaystyle (iii)\mathbf {H} ^{s}=0}$ na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ pro všechna ${\displaystyle \mathbf {s>n} }$.
${\displaystyle (iv)\mathbf {H} ^{s}(\lambda A)=\lambda ^{s}\mathbf {H} ^{s}(A)}$ pro všechna ${\displaystyle \lambda >0,A\subset \mathbb {R} ^{n}}$.
${\displaystyle (v)\mathbf {H} ^{s}(L(A))=\mathbf {H} ^{s}(A)}$ pro všechny afinní isometrie ${\displaystyle L:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},A\subset \mathbb {R} ^{n}}$.

Literatura

• Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions,
• CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.

Zdroj