Eliptické integrály

Eliptický integrál je v integrálním počtu jednou z řady příbuzných funkcí definovaných pomocí integrálů, které poprvé studovali Giulio Fagnano a Leonhard Euler okolo roku 1750. Jejich název pochází z toho, že původně vznikly v souvislosti s problémem nalezení délky oblouku elipsy.

Moderní matematika definuje eliptický integrál jako funkci ${\displaystyle f}$, kterou lze vyjádřit ve tvaru:

${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,dt}$,

kde ${\displaystyle R}$ je racionální funkce dvou proměnných, ${\displaystyle P}$ je polynom třetího nebo čtvrtého stupně bez násobných kořenů a ${\displaystyle c}$ je konstanta.

Provedeme-li v Jacobiho integrálu substituci ${\displaystyle t=\sin \varphi }$, dostaneme úplný eliptický integrál prvního druhu (s modulem k):

${\displaystyle F(k,{\frac {\pi }{2}})=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$.

Úplný eliptický integrál druhého druhu máme ve tvaru:

${\displaystyle E(k,{\frac {\pi }{2}})=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\ \ d\varphi }$

kde ${\displaystyle 0<k<1}$.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Jacobiho eliptické funkce na Wikimedia Commons

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Zdroj