Dokonalá tekutina

Tekutina je společný název pro kapaliny a plyny (patrně i pro plazma a kvark gluonové plazma^[1]), jejichž významnou společnou vlastností je tekutost, neboli neschopnost udržet svůj stálý tvar díky snadnému vzájemnému pohybu částic. K tekutinám se většinou řadí také sypké látky, které jsou sice pevného skupenství, ale splňují kritérium tekutosti.

Tekutiny se liší od pevných látek především velkou pohyblivostí svých částic, nemají vlastní tvar a snadno se dělí. Protože tekutiny kladou malý odpor vůči silám působícím ve směru vnější normály plochy, která tekutinu omezuje, nemluvíme u tekutin o tlaku, ale o napětí.

Odpor tekutin proti změně tvaru nazýváme viskozitou, která se projevuje jen pokud není tekutina v klidu. Viskózní síla má snahu zmenšit vzájemný rozdíl rychlostí v proudící tekutině a je tudíž analogií k třecí síle, která je součástí mechaniky pevných látek.
Tekutinu, u které se neprojevují viskózní síly, nazýváme dokonalou. Jak je z názvu zřejmé, taková tekutina je pouze myšlenkový konstrukt, který nemá v reálném světě oporu. V praxi se ovšem setkáme s některými tekutinami, které mají tak malou viskozitu, že je dokonalá tekutina jejich dobrou aproximací.
Tekutiny dělíme na kapaliny a plyny. Vzájemně se liší především stlačitelností a rozpínavostí. Plyny jsou rozpínavé, kdežto kapaliny vytvářejí volnou hladinu. Kapaliny jsou stlačitelné jen nepatrně, kdežto plyny jsou stlačitelné velmi jednoduše.

Tekutiny se dělí na

• newtonské (např. voda)
• nenewtonské (např. barvy, škrobové roztoky, mléko)

podle toho, zda splňují Newtonův zákon viskozity, který říká, že odpor způsobený vnitřním třením v tekutině je přímo úměrný rychlosti toku. Studiem vlastností tekutin se zabývá rheologie.

Ideální (dokonalá) tekutina je taková tekutina, v níž jsou všechna smyková napětí nulová, a tenzor napětí lze vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle \sigma _{ij}=-\delta _{ij}p\,}$,

kde ${\displaystyle p\geq 0}$. V každém bodě ideální tekutiny (tedy na všech rovinách proložených tímto bodem) je napětí čistým tlakem o velikosti ${\displaystyle p}$. Modul pružnosti ve smyku ideální tekutiny je nulový, tzn. ${\displaystyle G=0}$. Nepřítomnost smykového napětí znamená, že v ideální tekutině nepůsobí vnitřní tření.

Ideální tekutina se nebrání změně tvaru, tzn. je dokonale tekutá.

Zvláštním případem ideální tekutiny je:

• ideální kapalina
• ideální plyn

Základní rovnice rovnováhy tekutin je fyzikální rovnice popisující rovnovážný stav v tekutině. Běžný její zápis je ${\displaystyle -{\frac {\partial p}{\partial {x_{i}}}}+F_{i}=0}$.

Následuje její postup odvození.

Předpokládejme, že se ideální tekutina pohybuje tak, že jedna vrstva molekul pomalu klouže po druhé vrstvě.

Vyjděme z rovnice rovnováhy elastického kontinua ${\displaystyle F_{i}+{\frac {\partial \tau _{ji}}{\partial x_{j}}}=0}$ (rovnice 1) , kde ${\displaystyle F_{i}}$ jsou složky síly a ${\displaystyle \tau _{ji}}$ jsou složky tenzoru napětí, pro které platí ${\displaystyle \tau _{ji}=\tau _{ij}}$.

Dokonalá tekutina neodporuje změnám tvaru a proto jsou tečná napětí nulová, tedy ${\displaystyle \tau _{12}=\tau _{23}=\tau _{31}=0}$

Rovnici ${\displaystyle \tau _{ji}=0\ (i\neq j)}$ (2) tedy můžeme považovat za definiční rovnici tekutiny v rovnováze. Protože tato rovnice platí pro libovolnou kartézskou soustavu souřadnic, jsou její osy hlavními osami tenzoru napětí a tenzorová plocha je v tomto případě kulová. Proto jsou si normálová napětí rovna ${\displaystyle \tau _{11}=\tau _{22}=\tau _{33}}$

Položíme-li ${\displaystyle \tau _{11}=\tau _{22}=\tau _{33}=-p}$, kde p je tlak, pak musí platit ${\displaystyle \tau _{ij}=-{\delta _{ij}\cdot p}}$.

Po dosazení (2) do (1) dostaneme základní hydrostatickou rovnici ${\displaystyle -{\frac {\partial p}{\partial {x_{i}}}}+F_{i}=0}$ nebo vektorově ${\displaystyle -{\nabla p}+F=0}$

Poslední rovnice je nutná a postačující podmínka rovnováhy tekutiny. Úplný diferenciál tlaku p, který je funkcí souřadnic x_i, vychází ze základní hydrostatické rovnice ${\displaystyle \mathrm {d} p={\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}\cdot \mathrm {d} x_{i}=F_{i}\cdot \mathrm {d} x_{i}}$

U stlačitelných tekutin závisí hustota ρ na stavu kontinua, nevztahujeme proto vnější síly na jednotku objemu, nýbrž na jednotku hmotnosti. Objemovou sílu vztaženou na jednotku hmotnosti budeme značit G, její složky G_i, tedy ${\displaystyle F_{i}=\rho \cdot G_{i}}$. Rovnici rovnováhy tekutin můžeme přepsat takto ${\displaystyle -{{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial p}{\partial x_{ii}}}}+G_{i}=0}$ nebo vektorově ${\displaystyle -{{\frac {1}{\rho }}\,\nabla {p}}+G=0}$

U tekutin, které jsou v rovnováze, se neuplatňují viskózní síly. Takže zde uvedené rovnice se vztahují jak na ideální tak na viskózní tekutiny.

• Miroslav Brdička, Ladislav Samek a Bruno Sopko: Mechanika kontinua,Academia, 2000
• Miroslav Brdička, Arnošt Hladík: Teoretická mechanika, Academia, 1988,

• Mechanika tekutin
• Mechanika kontinua
• Tekoucí písek

• Obrázky, zvuky či videa k tématu tekutina na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo tekutina ve Wikislovníku

Zdroj