Lieova závorka
Lieova závorka je operátor, který přiřazuje kterýmkoliv dvěma vektorovým polím X a Y na hladké varietě M, třetí vektorové pole označované [X, Y]. Lieova závorka vystihuje nekomutativitu toků generovanými těmito poli.
Lieova závorka [X, Y] je derivace vektorového pole Y podél toku vytvořeného polem X. Zobecněním Lieovy závorky je derivace, která umožňuje diferenciaci jakéhokoli tenzorového pole podél toku vytvořeného X. Lieova závorka [X, Y] se rovná Lieově derivaci vektoru Y (která je tenzorovým polem) podél X, a je označována:
- čteme: Lieova derivace Y podél X.
Každé vektorové pole X na hladké varietě M může být považováno za diferenciální operátor působící na hladké funkce na M. Ve skutečnosti, každé hladké vektorové pole X se stává derivací hladkých funkcí C∞(M) pokud definujeme X(f) jako element C∞(M)
Lieova závorka [X, Y] dvou hladkých vektorových polí X a Y je hladké vektorové pole [X, Y], takové že platí:
Vlastnosti Lieovy závorky
- To je antisymetrie
- To je Jacobiho identita.
- pro každé To je linearita
Související články
- Konexe
- Levi-Civitova konexe
- Riemannova konexe
- Metrický tenzor