Diferenciální forma

Diferenciální forma stupně k neboli diferenciální k-forma je matematické zobecnění totálního diferenciálu na orientovatelné hladké varietě. Formálně jde o zobrazení s hodnotami ve vnější tenzorové mocnině kotečného prostoru variety. V každém bodě variety diferenciální forma určuje antisymetrickou multilineární formu, která k vektorovým polím přiřadí číslo, skalár.

Neformálně je diferenciální ${\displaystyle k}$-forma objekt, který se dá integrovat přes k-rozměrné variety, výraz vystupující za symbolem integrálu.

Někdy se pod pojmem diferenciální forma rozumí lineární diferenciální forma (1. stupně, 1-forma, Pfaffova forma, neúplný diferenciál, neexaktní diferenciál), které jsou přímým zobecněním totálního diferenciálu a mají důležité uplatnění např. v termodynamice. V souřadnicích ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ se dá lokálně vyjádřit jako

${\displaystyle a_{1}(x)dx_{1}+\ldots +a_{n}(x)dx_{n}}$.

Diferenciální forma stupně k je hladké alternující kovariantní tenzorové pole stupně k na hladké varietě:

${\displaystyle M}$ je hladká varieta. Zobrazení ${\displaystyle \alpha :M\to \bigwedge ^{i}T^{*}M}$ nazveme diferenciální ${\displaystyle k}$-formou, pokud ${\displaystyle \alpha }$ je hladké zobrazení a ${\displaystyle \alpha (m)\in \bigwedge ^{k}T_{m}^{*}M}$.

${\displaystyle \bigwedge ^{k}T_{m}^{*}M}$ je tzv. k-tá vnější mocnina vektorového prostoru ${\displaystyle T_{m}^{*}M}$, duálu k tečnému prostoru v bodě m. Často označujeme ${\displaystyle \alpha (m)}$ symbolem ${\displaystyle \alpha _{m}}$.

Vektorový prostor vnějších diferenciálních ${\displaystyle k}$-forem označujeme symbolem ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$.

Je-li ${\displaystyle (U,\phi =(x^{1},\ldots ,x^{n}))}$ lokální mapa (soustava souřadnic) z atlasu na ${\displaystyle M}$, potom

${\displaystyle \alpha _{|U}=\sum _{I}\alpha _{I}dx^{I},}$

kde ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ je multindex délky ${\displaystyle |I|=k,\alpha _{I}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ a ${\displaystyle dx^{I}=dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}},}$ ${\displaystyle i_{j}=1,\ldots ,n}$.

Hladká funkce na varietě je diferenciální forma stupně 0.

Klasickým příkladem diferenciální formy je totální diferenciál funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$, tj.:

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}}$, kde parciální derivace funkce ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ tvoří vektorové pole ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$.

Obecnějším příkladem lineární diferenciální formy, jež není totálním diferenciálem funkce, je forma v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \alpha =ydx+\sin xdy}$.

Integrací objemové d. f. v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \omega =dx\wedge dy\wedge dz}$

přes měřitelnou množinu dostaneme její objem.

Prostor diferenciálních forem stupně k na varietě M dimenze n se značí ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$, prostor všech diferenciálních forem ${\displaystyle \Omega (M)}$. Na prostoru k-forem je dán De Rhamův diferenciál ${\displaystyle d:\,\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$. Posloupnost ${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\to \ldots \to \Omega ^{n}(M)\to 0}$ se nazývá De Rhamův komplex a jeho kohomologie jsou izomorfní singulárním kohomologiím s hodnotami v ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Zdroj