Diferenciální forma stupně k neboli diferenciální k-forma je matematické zobecnění funkcí na hladké varietě. Formálně jde o funkci s hodnotami ve vnější tenzorové mocnině konečného prostoru. Ekvivalentně, diferenciální forma je antisymetrická multilineární funkce, která k vektorovým polím přiřadí skalární funkci.
Méně formálně, diferenciální -forma je objekt, který se dá integrovat přes k-rozměrné podvariety.
Někdy se pod pojmem diferenciální forma rozumí lineární diferenciální forma (1. stupně, 1-forma, Pfaffova forma), které mají důležité uplatnění např. v termodynamice. V souřadnicích se dá lokálně vyjádřit jako
-
.
Příklad
Příkladem diferenciální formy je totální diferenciál funkce , tj.:
-
, kde parciální derivace funkce v bodě tvoří vektorové pole .
Definice
je hladká varieta. Zobrazení nazveme vnější diferenciální -formou, pokud je hladké zobrazení a , kde je tzv. vnější mocnina vektorového prostoru
. Často označujeme symbolem .
Prostor vnějších diferenciálních -forem označujeme symbolem .
Jsou-li souřadnice z atlasu na , potom
kde je multindex délky a .
De Rhamův komplex
Prostor diferenciálních forem stupně k na varietě M dimenze n se značí , prostor všech diferenciálních forem . Na prostoru k-forem je dán De Rhamův diferenciál
. Posloupnost
se nazývá De Rhamův komplex a jeho kohomologie jsou izomorfní singulárním kohomologiím s hodnotami v .
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-02-21 23:05:24
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Diferenciální forma)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.