Paralelní přenos (geometrie)

Paralelní přenos je způsob, jakým lze vytvořit rovnoběžný vektor k jinému vektoru v libovolně zakřiveném prostoru (nebo prostoročase).

Odvození

Mějme v lokálním inerciálním systému dva body a mezi nimi libovolnou křivku, jejíž parametrizaci označíme jako ${\textstyle \lambda }$. V jednom z těchto bodů mějme vektor ${\textstyle V'^{\alpha }}$ (index ${\textstyle \alpha }$označuje jeho složky). Vektor k němu rovnoběžný ve druhém bodě vytvoříme tak, že budeme ${\textstyle V'^{\alpha }}$ přenášet podél definované křivky paralelně, tj. za splněné podmínky

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V'^{\alpha }}{\mathrm {d} \lambda }}=0}$ .

Vektor, který je rovnoběžný ke křivce, označíme ${\textstyle u}$. Z definice platí pro jeho složky

${\displaystyle u^{\beta }={\frac {\mathrm {d} \xi ^{\beta }}{\mathrm {d} \lambda }}}$,

kde ${\textstyle \xi ^{\beta }}$ značí složky polohového vektoru v lokálním inerciálním systému. Pak z předchozí rovnice plyne

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V^{\alpha }}{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {\partial V^{\alpha }}{\partial \xi ^{\beta }}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{\beta }}{\mathrm {d} \lambda }}={V^{\alpha }}_{,\beta }u^{\beta }=0}$

(zde symbol ${\textstyle {,\beta }}$ znamená derivaci podle souřadnice).

Označíme-li polohové vektory v obecných souřadnicích ${\displaystyle x}$, pak transformace vektoru ${\displaystyle V'(\xi )}$ na ${\displaystyle V(x)}$ je dána vztahem

${\displaystyle V'^{\alpha }={\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}V^{\mu }}$

Po dosazení do první rovnice dostaneme

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V'^{\alpha }}{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\left({\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}V^{\mu }\right)={\frac {\partial ^{2}\xi ^{\alpha }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\mu }}}{\frac {\mathrm {d} x^{\sigma }}{\mathrm {d} \lambda }}V^{\mu }+{\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\mathrm {d} V^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}=0}$.

Přeznačením indexů u prvního výrazu z ${\textstyle \mu }$ na ${\textstyle \nu }$ a vynásobením ${\displaystyle {\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \xi ^{\alpha }}}}$ přejde rovnice na

${\displaystyle {\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \xi ^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}\xi ^{\alpha }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\nu }}}{\frac {\mathrm {d} x^{\sigma }}{\mathrm {d} \lambda }}V^{\nu }+{\frac {\mathrm {d} V^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}=0}$,

což lze také zapsat jako

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}+{\Gamma ^{\mu }}_{\sigma \nu }u^{\sigma }V^{\nu }=0}$ ,

kde ${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\sigma \nu }}$ jsou složky afinní konexe. Toto je rovnice pro paralelní přenos.

Rovnice geodetiky

Rovnici paralelního přenosu

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}+{\Gamma ^{\mu }}_{\sigma \nu }u^{\sigma }V^{\nu }=0}$

lze také zapsat pomocí kovariantní derivace jednoduše jako

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} V^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}=0}$ nebo ${\displaystyle {V^{\mu }}_{;\alpha }=0}$ .

Pokud přenášíme rovnoběžný vektor

${\displaystyle V^{\mu }=u^{\mu }={\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}}$ ,

dostaneme rovnici geodetiky

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} ^{2}x^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda ^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda ^{2}}}+{\Gamma ^{\mu }}_{\sigma \nu }u^{\sigma }u^{\nu }=0}$ .

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu paralelní přenos na Wikimedia Commons

Zdroj