Algebraický doplněk

Subdeterminant je determinant submatice. Speciálním případem subdeterminantu je algebraický doplněk. Algebraické doplňky umožňují redukovat řád determinantu pomocí rozvoje podle řádku nebo sloupce a prostřednictvím adjungované matice umožňují nalezení inverzní matice.

Submatice

Submatice je matice, která vznikne z dané matice odstraněním vybraných řádků a sloupců. Matice tvořená zbylými řádky a sloupci se nazývá doplňková submatice.^[1]

Subdeterminant (minor)

Je-li submatice čtvercová, má smysl její determinant. Tento determinant se nazývá subdeterminant nebo minor. Počet řádků submatice je řádem subdeterminantu.

Je-li ${\displaystyle \mathbf {A} }$ čtvercová matice ${\displaystyle n}$-tého řádu, potom subdeterminant ${\displaystyle (n-1)}$-ního řádu, který je determinantem submatice vytvořené z matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce se nazývá subdeterminant (minor) příslušný k prvku ${\displaystyle a_{ij}}$ matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Algebraický doplněk

Algebraickým doplňkem nebo také kofaktorem prvku ${\displaystyle a_{ij}}$ čtvercové matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ nazýváme číslo

$${\displaystyle A_{ij}={(-1)}^{i+j}{\det \mathbf {A} _{ij}},}$$

${\displaystyle \det \mathbf {A} _{ij}}$

${\displaystyle a_{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {A} }$

Výpočet determinantu rozvojem podle řádků (sloupců)

Algebraický doplněk lze použít k výpočtu determinantu. Pro libovolný (pevně daný) řádkový index ${\displaystyle i}$ lze determinant matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ vyjádřit pomocí součtu součinů všech prvků tohoto řádku a jejich algebraických doplňků, tj. jako

$${\displaystyle \det \mathbf {A} =\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij},}$$

${\displaystyle n}$

rozvoj (rozklad) determinantu podle ${\displaystyle i}$-tého řádku

rozvojem (rozkladem) podle ${\displaystyle j}$-tého sloupce

$${\displaystyle \det \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}.}$$

Rozvoj determinantu je možné zobecnit^[2] i na rozvoj podle víceprvkové množiny vybraných řádků s využitím všech možných minorů sestavených z těchto řádků.

Rekurentní výpočet determinantu

V programování lze velmi dobře využít metodu rozvoje podle řádku nebo sloupce pro výpočet determinantů čtvercové matice libovolného rozměru za pomocí rekurze. Výhodou je jednoduchá implementace, nevýhodou výpočetní náročnost rychle rostoucí s řádem determinantu.

Příklad kódu v jazyce Java:

public int determinant(int[][] m) {
	int n = m.length;
	if(n == 1) {
		return m[0][0];
	} else {
		int det = 0;
		for(int j = 0; j < n; j++) {
			det += Math.pow(-1, j) * m[0][j] * determinant(minor(m, 0, j));
		}
		return det;
	}
}

public int[][] minor(final int[][] m, final int i, final int j) {
	int n = m.length;
	int[][] minor = new int[n - 1][n - 1];
	int r = 0, s = 0;
	for(int k = 0; k < n; k++) {
		int[] row = m[k];
		if(k != i) {
			for(int l = 0; l < row.length; l++) {
				if(l != j) {
					minor[r][s++] = row[l];
				}
			}
			r++;
			s = 0;
		}
	}
	return minor;
}

Reference

Související články

• Matice
• Adjungovaná matice
• Inverzní matice
• Determinant

Zdroj