Úhlová soustava souřadnic

Biangulární souřadnice jsou soustava souřadnic v rovině určená úsečkou, kde poloha bodu je určena dvěma úhly. Tento typ souřadnic jako první zkoumal Lazare Nicholas Marguerite Carnot, který své výsledky publikoval v roce 1803.^[1]

V rovině je dána úsečka ${\displaystyle {\overline {AB}}\,\!}$. Pak poloha každého bodu ${\displaystyle C}$ v této rovině (s výjimkou bodů ležících na přímce ${\displaystyle {\overline {AB}}\,\!}$) je jednoznačně dána úhly ${\displaystyle \angle CAB\,\!}$ a ${\displaystyle \angle CBA\,\!}$.

Polohu bodů na přímce ${\displaystyle {\overline {AB}}\,\!}$ nelze určit, jelikož úhly ${\displaystyle \angle CAB\,\!}$ a ${\displaystyle \angle CBA\,\!}$ pro různé body jsou stejné - nulové nebo přímé (180°).

Máme bod, zvaný ${\displaystyle C}$, v rovině a chceme jej vyjádřit v této soustavě.

Zvolme v rovině úsečku ${\displaystyle AB}$, jejíž délka je jednotková. Oba krajní body této úsečky spojme s bodem ${\displaystyle C}$.

Najdeme úhly ${\displaystyle \alpha }$ a ${\displaystyle \beta }$, odpovídajíci úhlům ${\displaystyle CAB}$ a ${\displaystyle CBA}$ v tomto pořadí.

Úsečka ${\displaystyle AB}$ a úhly ${\displaystyle \alpha }$ a ${\displaystyle \beta }$ tak určují polohu bodu v nové soustavě souřadnic a úhly ${\displaystyle \alpha }$ a ${\displaystyle \beta }$ jsou těmito souřadnicemi.

${\displaystyle x={\frac {c\ \operatorname {tg\,} \beta }{\operatorname {tg\,} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}}$

${\displaystyle y={\frac {c\,\operatorname {tg\,} \alpha \,\operatorname {tg\,} \beta }{\operatorname {tg\,} \alpha +\operatorname {tg\,} \beta }}}$

a pro zpětný převod souřadnic x-y na α - β použijeme rovnice:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg2} \left({\frac {y}{x}}\right),}$

${\displaystyle \beta =\operatorname {arctg2} \left({\frac {y}{c-x}}\right),}$

kde arctg2 je zobecnění funkce arkus tangens často užívané při inverzích vztahů v rovině.

V úhlových souřadnicích se dá jednoduše vyjádřit rovnice jistých kuželoseček v rovině.

Rovnice elipsy: ${\displaystyle \operatorname {tg\ } \beta ={\frac {1}{\operatorname {tg\ } \alpha }}+1,5}$

Rovnice paraboly: ${\displaystyle \operatorname {tg\ } \beta ={\frac {1}{\operatorname {tg\ } \alpha }}+2}$

Rovnice hyperboly: ${\displaystyle \operatorname {tg\ } \beta ={\frac {1}{\operatorname {tg\ } \alpha }}+3}$

• 
  Elipsa, definovaná úhlovými souřadnicemi v rovině
• 
  Parabola, definovaná úhlovými souřadnicemi v rovině
• 
  Hyperbola, definovaná úhlovými souřadnicemi v rovině

Zdroj