Vnitřek množiny

Vnitřek množiny (anglicky interior) je největší otevřená množina topologického prostoru, kterou daná množina obsahuje. Vnitřek ${\displaystyle M}$ značíme většinou ${\displaystyle M^{O}}$, občas Int ${\displaystyle M}$.

Definice

Sjednocení všech otevřených množin topologického prostoru ${\displaystyle X}$ s topologií ${\displaystyle \tau }$, které jsou podmnožinou ${\displaystyle M}$, nazveme vnitřek množiny ${\displaystyle M}$, značíme ${\displaystyle M^{O}}$.

${\displaystyle M^{O}=\bigcup \{U\in \tau :U\subseteq M\}}$

Ekvivalentně lze definovat vnitřek množiny ${\displaystyle M}$ jako množinu ${\displaystyle M^{O}}$ všech bodů topologického prostoru, které mají nějaké své okolí ${\displaystyle U}$ v ${\displaystyle M}$.

${\displaystyle M^{O}=\{x\in X:\exists U(x)\subseteq M\}}$

Vlastnosti průniku

Z toho, že sjednocení libovolného počtu otevřených množin je otevřená množina, je i vnitřek množiny otevřená množina. Naopak platí, že množina je otevřená pravě tehdy, když je rovna svému vnitřku.

Vnitřek prázdné množiny je prázdná množina, vnitřek celého ${\displaystyle X}$ je ${\displaystyle X}$.

Související články

• Uzávěr množiny
• Uzavřená množina

Zdroj