Věta o dimenzi součtu a průniku podprostorů

Věta o dimezích součtu a průniku podprostorů,^[1] též zvané věta o dimenzích spojení a průniku ^[2] apod. je tvrzení z lineární algebry jež uvádí souvislost dimenzí dvou podprostorů téhož vektorového prostoru.

Jde o analogii principu inkluze a exkluze pro dva vektorové prostory.

Nechť ${\displaystyle U}$ a ${\displaystyle V}$ jsou dva podprostory téhož prostoru ${\displaystyle W}$ a oba mají konečnou dimenzi. Pak platí:

${\displaystyle \dim U+\dim V=\dim(U\cap V)+\dim(U+V)}$,

přičemž součet ${\displaystyle U+V}$ značí podprostor ${\displaystyle W}$ určený množinou ${\displaystyle \{{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}:{\boldsymbol {u}}\in U,{\boldsymbol {v}}\in V\}}$.

Jsou-li ${\displaystyle U}$ a ${\displaystyle V}$ dvě roviny procházející počátkem v třírozměrném euklidovském prostoru ${\displaystyle W=\mathbb {R} ^{3}}$, potom oba mají dimenzi 2, jejich průnikem je přímka, což je jednodimenzionální prostor a součtem ${\displaystyle U+V}$ je celý prostor ${\displaystyle W=\mathbb {R} ^{3}}$.

Vztah uvedený ve větě odpovídá rovnosti:

${\displaystyle \dim U+\dim V=2+2=1+3=\dim(U\cap V)+\dim(U+V)}$

Pro další ukázku nechť ${\displaystyle U}$ a ${\displaystyle V}$ jsou dva třídimezionální podprostory prostoru ${\displaystyle W}$ dimenze 5. Součet ${\displaystyle U+V}$ je též podprostorem ${\displaystyle W}$, a tak jeho dimenze nemůže přesáhnout hodnotu 5.

Rovnost uvedená ve větě vede na odhad:

${\displaystyle \dim(U\cap V)=\dim U+\dim V-\dim(U+V)\geq 3+3-5=1}$,

z něhož vyplývá, že lze nalézt alespoň jeden nenulový vektor ležící v ${\displaystyle U}$ a současně ve ${\displaystyle V}$. Tato skutečnost vyplývá čistě ze znalostí dimenzí podprostorů ${\displaystyle U}$ a ${\displaystyle V}$, aniž by bylo třeba zkoumat jejich další vlastnosti.

Protože ${\displaystyle U\cap V}$ je podprostorem prostoru ${\displaystyle W}$, má nějakou bázi ${\displaystyle \{{\boldsymbol {u}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k}\}}$, kde ${\displaystyle k=\dim(U\cap V)}$.

Pomocí Steinitzovy věty o výměně lze rozšířit množinu vektorů ${\displaystyle \{{\boldsymbol {u}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k}\}}$ o celkem ${\displaystyle l}$ lineárně nezávislých vektorů ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{k+1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k+l}}$ na bázi podprostoru ${\displaystyle U}$. Podobně lze tutéž množinu ${\displaystyle \{{\boldsymbol {u}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k}\}}$ rozšířit o vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{m}}$ na bázi prostoru ${\displaystyle V}$. Z konstrukce vyplývá, že ${\displaystyle \dim U=k+l}$ a ${\displaystyle \dim V=k+m}$.

Zbývá ověřit, že množina ${\displaystyle B=\{{\boldsymbol {u}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k+l},{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{m}\}}$ je jednou z možných bází podprostoru ${\displaystyle U+V}$.

Libovolné vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in U}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in V}$ jsou lineárními kombinacemi vektorů z ${\displaystyle B}$, a proto tato množina generuje podprostor ${\displaystyle U+V}$.

V hypotetické situaci, kdyby množina ${\displaystyle B}$ netvořila bázi a byla tudíž lineárně závislá, bylo by možné najít koeficienty ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k+l},b_{1},\dots ,b_{m}}$ netriviální lineární kombinace takové, že:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k+l}a_{i}{\boldsymbol {u}}_{i}+\sum _{i=1}^{m}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}={\boldsymbol {0}}}$

Potom by vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$, daný výrazem ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{k+l}a_{i}{\boldsymbol {u}}_{i}}$, splňoval i ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{m}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}}$. Protože by v alespoň jedné z těchto rovností byl na pravé straně nenulový koeficient u alespoň jednoho z členů, a vektory v obou kombinacích jsou lineárně nezávislé, byl by vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$ nenulový. V důsledku by obě lineární kombinace byly netriviální.

Ovšem z první z kombinací vyplývá ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in U}$, z druhé ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in V}$, v důsledku ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in U\cap V}$, a tak jediné nenulové koeficienty mohou být z množiny ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$. V důsledku by druhá lineární kombinace byla triviální, čili ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{m}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}=\sum _{i=1}^{m}0{\boldsymbol {v}}_{i}={\boldsymbol {0}}}$, což není možné.

Proto zkoumaný předpoklad, že by množina ${\displaystyle B}$ byla lineárně závislá, je sporný. Množina ${\displaystyle B}$ je ve skutečnosti lineárně nezávislá a tvoří bázi prostoru ${\displaystyle U+V}$.

Platnost věty již pak přímo vyplývá z rovnosti:

${\displaystyle \dim U+\dim V=(k+l)+(k+m)=k+(k+l+m)=\dim(U\cap V)+\dim(U+V)}$

Dlužno podotknout, že v uvedené konstrukci mohou být jeden i více parametrů ${\displaystyle k,l,m}$ nulových, což pak odpovídá situaci, kdy prostory ${\displaystyle U}$ a ${\displaystyle V}$ jsou až na počátek disjuktní, nebo jsou v inkluzi, či se shodují.

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

• Vektorový prostor
• Lineární zobrazení
• Matice
• Soustava lineárních rovnic

Zdroj