Unitární operátor je v matematice označení pro omezený lineární operátor splňující vztah: , tzn. adjungovaný operátor odpovídá inverznímu zobrazení. (Kde a jsou Hilbertovy prostory.)
Vlastnosti
Alternativní definice
Následující tvrzení jsou ekvivalentní. Vlastnosti 2. a 3. se někdy používají jako alternativní definice.
-
je unitární, ve smyslu definovaném výše, tedy
-
je surjektivní a je izometrií, tzn.:
-
je surjektivní a zachovává skalární součin, tzn.:
Důkaz:
-
- Protože platí , je též unitární. Proto je unitární zobrazení vždy bijektivní a tedy i surjektivní.
-
- Označme identické zobrazení a připomeňme, že: .
- Z čehož máme: . ∎
Další vlastnosti
Unitární zobrazování je někdy považováno za zobecnění komplexní jednotky pro Hilbertovy prostory, mimo výše uvedené izometrie má je ještě tyto podobné vlastnosti:
- Složené zobrazení dvou unitárních zobrazení je unitární zobrazení.
-
Vlastní čísla unitárního operátoru jsou komplexní jednotky.
- Unitární operátor komutuje se svým sdruženým operátorem, je takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální. Lze z nich tedy sestrojit ortonormální bázi .
- Pro Hilbertovy prostory konečné dimenze lze unitární zobrazení reprezentovat maticí , jejíž sloupcové vektory tvoří ortonormální bázi . Platí i opačná implikace: Matice s touto vlastností reprezentuje unitární zobrazení. Stejná vlastnost platí i pro řádkové vektory.
Příklady
-
Identické zobrazení je triviální případ unitárního operátoru.
- Rotace v .
- V množině komplexních čísel násobení komplexní jednotkou.
-
Fourierova transformace v prostoru L2(ℝ).
-
, kde je hermitovský operátor a značí exponenciálu operátoru.
Související články
- Antiunitární operátor
- Wignerova věta
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2023-11-28 12:09:40
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Unitární operátor)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.