Stejnoměrná konvergence

Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí je silnější druh konvergence, než bodová konvergence. Posloupnost ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{n=\infty }}$ funkcí konverguje stejnoměrně k limitní funkci f, pokud rychlost konvergence nezávisí na hodnotě x.

Definice

Srovnáme-li definice konvergence

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\forall x,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\in \mathbb {N} ,n>n_{0}:|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }$

a stejnoměrné konvergence

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall x,\forall n\in \mathbb {N} ,n>n_{0}:|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }$,

vidíme, že jediný rozdíl je v pořadí kvantifikátorů ${\displaystyle \forall x}$ a ${\displaystyle \exists n_{0}}$. Tento rozdíl je však podstatný: Uvážíme-li posloupnost funkcí ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}-x^{2n}}$, pak na intervalu [0, 1] všechny konvergují k nule, nikoli však stejnoměrně.

Ekvivalentní definice

Platí, že posloupnost funkcí ${\displaystyle f_{n}(x)}$ konverguje na intervalu I k funkci f(x) stejnoměrně právě tehdy, když

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\sup \limits _{x\in I}|f_{n}(x)-f(x)|=0}$,

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Uniform convergence na anglické Wikipedii.

Související články

• Abelovo kritérium stejnoměrné konvergence
• Posloupnost
• Řada (matematika)
• Konvergence
• Limita
• Supremum

Zdroj