Souvislá (A) a nesouvislá (B) množina Souvislá množina je v topologii množina, kterou nelze rozdělit na dvě disjunktní, neprázdné a otevřené podmnožiny.
Definice
Souvislá množina
Množina X ⊂ M {\displaystyle \mathbf {X} \subset \mathbf {M} } , X ≠ ∅ {\displaystyle \mathbf {X} \neq \emptyset } topologického či metrického prostoru ( M , ρ ) {\displaystyle (\mathbf {M} ,\rho )} se nazývá souvislá , pokud kdykoli A ⊂ M {\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {M} } , B ⊂ M {\displaystyle \mathbf {B} \subset \mathbf {M} } jsou množiny otevřené v M takové, že
X = A ∪ B {\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {A} \cup \mathbf {B} } a
A ∩ B = ∅ {\displaystyle \mathbf {A} \cap \mathbf {B} =\emptyset } .
Pak buď A = ∅ {\displaystyle \mathbf {A} =\emptyset } nebo B = ∅ {\displaystyle \mathbf {B} =\emptyset }
Ekvivalentní definice
Množina X ⊂ M {\displaystyle \mathbf {X} \subset \mathbf {M} } , X ≠ ∅ {\displaystyle \mathbf {X} \neq \emptyset } topologického či metrického prostoru ( M , ρ ) {\displaystyle (\mathbf {M} ,\rho )} se nazývá souvislá , pokud kdykoli A ⊂ M {\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {M} } , B ⊂ M {\displaystyle \mathbf {B} \subset \mathbf {M} } jsou množiny uzavřené v M takové, že
X = A ∪ B {\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {A} \cup \mathbf {B} } a
A ∩ B = ∅ {\displaystyle \mathbf {A} \cap \mathbf {B} =\emptyset } .
Pak buď A = ∅ {\displaystyle \mathbf {A} =\emptyset } nebo B = ∅ {\displaystyle \mathbf {B} =\emptyset }
Je-li f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mathbf {f} :\mathbf {X} \rightarrow [0,1]} spojité zobrazení a { 0 , 1 } ⊂ f [ X ] {\displaystyle \{0,1\}\subset \mathbf {f} [\mathbf {X} ]} , pak f [ X ] = [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mathbf {f} [\mathbf {X} ]=[0,1]} .
Souvislý prostor
Topologický prostor je souvislý, je-li svou vlastní souvislou podmnožinou .
Topologický prostor X {\displaystyle X} je souvislý právě tehdy, když jediné podmnožiny v X {\displaystyle X} , které jsou současně otevřené i uzavřené , jsou X {\displaystyle X} a ∅ {\displaystyle \emptyset } . V opačném případě bývá prostor X {\displaystyle X} označován jako nesouvislý .
Komponenta souvislosti
Komponenta souvislosti množiny X ⊂ M {\displaystyle \mathbf {X} \subset \mathbf {M} } je každá její maximální (vzhledem k ⊆ {\displaystyle \subseteq } ) souvislá podmnožina .
Související články
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2023-11-28 05:35:21
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Souvislá množina )
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.