Obloukově souvislá množina

Obloukově souvislý topologický prostor je pojem z matematiky, konkrétněji z topologie. Je to vlastnost prostoru, v kterém se libovolné dva body dají spojit křivkou.

Definice

Topologický prostor je obloukově souvislý, pokud každé dva jeho body ${\displaystyle A,B\in X}$ existuje spojitá křivka

${\displaystyle s:[0,1]\to X,\quad s(0)=A,\,s(1)=B.}$

Podmnožina ${\displaystyle Y}$ topologického prostoru ${\displaystyle X}$ se nazývá obloukově souvislá, pokud ${\displaystyle Y}$ je souvislý jako topologický prostor vzhledem k indukované topologii.

Příklady

1. Euklidovské prostory ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, uvažované s metrickou topologií jsou obloukově souvislé
2. Hilbertovy prostory ,obecněji topologický vektorový prostor, jsou obloukově souvislé.
3. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ bez osy ${\displaystyle x}$ není souvislý prostor. Obecná lineární grupa, ani grupa všech Lorentzových transformací nejsou obloukově souvislé. (Nejsou ani souvislé.)

Tvrzení

Pokud je topologický prostor ${\displaystyle X}$ obloukově souvislý, pak je souvislý.

Obrácená věta však neplatí. Protipříkladem je množina ${\displaystyle \scriptstyle \left\{(0,y)\ {\big |}\ |y|\leq 1\right\}\cup \left\{\left(x,\sin {\frac {1}{x}}\right)\ {\big |}\ x>0\right\}}$. Tato množina je souvislá, ale není obloukově souvislá.

Zdroj