Relativistická hmotnost

Jedním z důsledků speciální teorie relativity je fakt, že hmotnost tělesa není neměnný parametr, ale musí se měnit v závislosti na pohybu vůči pozorovateli. Čím rychleji se těleso vůči pozorovateli pohybuje, tím větší má z pohledu pozorovatele hmotnost.

Relativistickou hmotnost lze spočítat podle vzorce^[1]

${\displaystyle m=m_{0}\cdot \gamma }$,

kde ${\displaystyle m}$ je hmotnost změřená pozorovatelem, ${\displaystyle m_{0}}$ je klidová hmotnost pohybujícího se tělesa (nebo také invariantní či vlastní hmotnost) a ${\displaystyle \gamma }$ je Lorentzův faktor.

Použití Lorentzova faktoru zobecňuje Newtonovskou mechaniku – při běžných rychlostech se jeho hodnota limitně blíží jedné (a je tedy možné jej zanedbat), začne se projevovat až u rychlostí, které se řádově blíží rychlosti světla ve vakuu (a kde je proto fyzikální popis Newtonovské mechaniky nedostatečný).

Odvození

Uvažujme nepružnou srážku dvou těles popsanou ve dvou vztažných soustavách popsaných kartézskými souřadnicemi, přičemž boost, jehož rychlost je ${\displaystyle \omega }$, probíhá podél osy x. Rozepíšeme zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti v nečárkované a čárkované soustavě jako

${\displaystyle m_{1}+m_{2}=M,\,}$

${\displaystyle v_{1}m_{1}+v_{2}m_{2}=VM,\,}$

${\displaystyle m'_{1}+m'_{2}=M',\,}$

${\displaystyle v'_{1}m'_{1}+v'_{2}m'_{2}=V'M'.\,}$

A doplníme relativistické vztahy pro skládání rychlostí

${\displaystyle v'_{1}={\frac {v_{1}-\omega }{1-{\frac {v_{1}\omega }{c^{2}}}}},}$

${\displaystyle v'_{2}={\frac {v_{2}-\omega }{1-{\frac {v_{2}\omega }{c^{2}}}}},}$

${\displaystyle V'={\frac {V-\omega }{1-{\frac {V\omega }{c^{2}}}}}.}$

Pro jednoduchost popišme srážku ze dvou vztažných soustav, ve kterých je vždy jedno těleso v klidu. V první vztažné soustavě ${\displaystyle S}$ volíme ${\displaystyle v_{1}=0}$ (první těleso je v klidu a druhé přilétá rychlostí ${\displaystyle v_{2}}$ zleva). Ve druhé vztažné soustavě ${\displaystyle S'}$ má být druhé těleso v klidu, a proto musí platit, že

${\displaystyle v_{2}=\omega }$

Při této transformaci v soustavě ${\displaystyle S'}$ pozorujeme, že druhé těleso je v klidu a první letí rychlostí ${\displaystyle \omega }$ vlevo.

${\displaystyle v_{1}'=-\omega }$

${\displaystyle v_{2}'=0}$

Nyní dosadíme zákon zachování hmotnosti do zákona zachování hybnosti v obou soustavách a získáme

${\displaystyle v_{1}m_{1}+v_{2}m_{2}=V(m_{1}+m_{2}),\,}$

${\displaystyle v'_{1}m'_{1}+v'_{2}m'_{2}=V'(m_{1}'+m_{2}').\,}$

Po dosazení rychlostí se rovnice zjednoduší na tvar

${\displaystyle \omega m_{2}=V(m_{1}+m_{2}),\,}$

${\displaystyle -\omega m'_{1}=V'(m_{1}'+m_{2}').\,}$

Z první rovnice vyjádříme ${\displaystyle V}$ a do druhé dosadíme transformační vztah pro ${\displaystyle V'}$

${\displaystyle V={\frac {\omega m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\,}$

${\displaystyle -\omega m'_{1}={\frac {V-\omega }{1-{\frac {V\omega }{c^{2}}}}}(m_{1}'+m_{2}').\,}$

Nyní dosadíme první rovnici do druhé a získáme

${\displaystyle -\omega m'_{1}={\frac {{\frac {\omega m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}-\omega }{1-{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}}(m_{1}'+m_{2}').\,}$

Tato rovnice říká, jak souvisí hmotnost těles v různých soustavách s vzájemnou rychlostí těchto soustav ${\displaystyle \omega }$, a proto následující úpravy budou mířit na separaci hmotností a rychlostí.

${\displaystyle -\omega m'_{1}={\frac {\frac {-\omega m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\frac {m_{1}+m_{2}-m_{2}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}{m_{1}+m_{2}}}}(m_{1}'+m_{2}')}$

${\displaystyle -\omega m'_{1}={\frac {-\omega m_{1}}{m_{1}+m_{2}-m_{2}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}}(m_{1}'+m_{2}')}$

${\displaystyle m'_{1}={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}\left(1-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)}}(m_{1}'+m_{2}')}$

${\displaystyle m_{1}+m_{2}\left(1-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)={\frac {m_{1}}{m_{1}'}}(m_{1}'+m_{2}')}$

${\displaystyle m_{2}\left(1-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)={\frac {m_{1}}{m_{1}'}}m_{2}'}$

${\displaystyle 1-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m_{1}m_{2}'}{m_{1}'m_{2}}}}$

Nyní zaveďme ${\displaystyle m_{01}}$ klidovou hmotnost prvního tělesa a ${\displaystyle m_{02}}$ klidovou hmotnost druhého tělesa. (Klidovou hmotnost tělesa pozoruje pozorovatel, který je vůči tělesu v klidu.) V našem případě tedy můžeme psát, že

${\displaystyle m_{1}=m_{01}}$

${\displaystyle m_{2}'=m_{02}}$

Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu vůči pozorovateli. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Zkusme modifikovat hmotnost násobením neznámou funkcí ${\displaystyle f(v)}$ závisející na velikosti rychlosti tělesa vůči pozorovateli ${\displaystyle v}$. V našem případě proto můžeme psát

${\displaystyle m_{2}=m_{02}f(\omega ),}$${\displaystyle m_{1}'=m_{01}f(\omega ).}$Protože v soustavě ${\displaystyle S}$ se pohybuje druhé těleso rychlostí o velikosti ${\displaystyle \omega }$ a v soustavě ${\displaystyle S'}$ se pohybuje první těleso rychlostí o velikosti ${\displaystyle \omega }$.

Dosazením vztahů pro hmotnosti do původní rovnice získáme

${\displaystyle 1-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m_{01}m_{02}}{m_{01}m_{02}f(\omega )^{2}}}}$

${\displaystyle f(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Těleso, které se pohybuje vůči pozorovateli rychlostí ${\displaystyle v}$ má proto z pohledu pozorovatele hmotnost o velikosti

${\displaystyle m=m_{0}f(v)={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{0}\gamma }$

kde jsme v původně neznámé funkci škálující hmotnost tělesa rozpoznali Lorentzův faktor.

Reference

Zdroj