Lorentzův faktor

Jako Lorentzův faktor se označuje člen, který se často vyskytuje ve výrazech a rovnicích speciální teorie relativity (např. kontrakce délek, dilatace času, Lorentzova transformace) a podle kterého se pro pohybující se objekt mění čas, vzdálenost a relativistická hmotnost.

Tento člen se označuje řeckým písmenem γ (gama) a je definován jako

${\displaystyle \gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}}$,

kde ${\displaystyle v}$ je velikost rychlosti ve vztažné soustavě, v níž je měřen čas ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \tau }$ je vlastní čas a ${\displaystyle c}$ je rychlost světla ve vakuu.

Dalším často se opakujícím výrazem je ${\displaystyle {\frac {v}{c}}}$, nazývá se bezrozměrná rychlost a značí se ${\displaystyle \beta }$.

${\displaystyle \beta \equiv {\frac {v}{c}}}$

Lorentzův faktor lze pak vyjádřit jako

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}=\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{1 \over 2}}\,.}$

Hodnoty

${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle \gamma ^{-1}}$
0,010	1,000	1,000
0,100	1,005	0,995
0,200	1,021	0,980
0,300	1,048	0,954
0,400	1,091	0,917
0,500	1,155	0,866
0,600	1,250	0,800
0,700	1,400	0,714
0,800	1,667	0,600
0,866	2,000	0,500
0,900	2,294	0,436
0,990	7,089	0,141
0,999	22,366	0,045

Přibližné vyjádření

Lorentzův faktor lze vyjádřit pomocí Taylorovy řady jako

${\displaystyle \gamma (\beta )=1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\frac {5}{16}}\beta ^{6}+{\frac {35}{128}}\beta ^{8}+...\,.}$

Aproximaci ${\displaystyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$ lze využít pro určení relativistických jevů při nízkých rychlostech. Pro rychlosti ${\displaystyle \beta <0,4}$ vykazuje tato aproximace chybu do 1 %, pro rychlosti ${\displaystyle \beta <0,22}$ vykazuje chybu menší než 0,1 %.

Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké rychlosti přechází speciální teorie relativity na Newtonovu mechaniku. (V následujících vzorcích písmeno ${\displaystyle m}$ značí klidovou hmotnost, která je invariantní vůči Lorentzově transformaci.) Například relativistický výraz pro hybnost

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v} }$

přejde pro ${\displaystyle \gamma \approx 1\,}$ na

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,.}$

Podobně vztah pro energii

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$

přejde pro ${\displaystyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$ na klasický tvar

${\displaystyle E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}\,.}$

V Lorentzově transformaci při nízkých rychlostech můžeme zanedbat členy řádu ${\displaystyle \beta ^{2}}$ a vyšší, takže je ${\displaystyle \gamma \approx 1}$ a obdržíme tzv. pomalou Lorentzovu transformaci.

${\displaystyle x^{\prime }=x-\beta ct}$

${\displaystyle y^{\prime }=y}$

${\displaystyle z^{\prime }=z}$

${\displaystyle ct^{\prime }=ct-\beta x\,.}$

Pro některé relativistické výpočty se používá vyjádření rychlosti pomocí ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}\,,}$

což lze také přepsat do Taylorovy řady

${\displaystyle \beta =1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\frac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\frac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\frac {1}{128}}\gamma ^{-8}+...\,.}$

Související články

• Speciální teorie relativity
• Lorentzova transformace
• Bezrozměrná rychlost

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Lorentzův faktor na Wikimedia Commons

Zdroj